Przestrzeń liniowo-topologiczna


Przestrzeń liniowo-topologiczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Każdy punkt przestrzeni liniowo-topologicznej daje się przedstawić jako pewne przesunięcie zera. Przesunięcie jest homeomorfizmem, więc badanie własności punktów przestrzeni liniowo-topologicznych sprowadza się do badania otoczeń zera.

Przestrzeń liniowo-topologicznaprzestrzeń liniowa z określoną w niej topologią, dla której działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalarciągłe. O topologii dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania.

Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań analizy funkcjonalnej. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące przestrzeniami funkcyjnymi.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech ( X , + , ) {\displaystyle (X,+,\cdot )} będzie przestrzenią liniową nad ciałem K {\displaystyle K} liczb rzeczywistych bądź zespolonych i niech τ {\displaystyle \tau } będzie topologią w zbiorze X . {\displaystyle X.}

Przestrzeń ( X , + , , τ ) {\displaystyle (X,+,\cdot ,\tau )} nazywa się przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} jest T1-przestrzenią oraz dodawanie + : X × X X {\displaystyle +\colon X\times X\to X} i mnożenie przez skalar : K × X X {\displaystyle \cdot \colon K\times X\to X} są ciągłe (w sensie odpowiednich topologii produktowych).

Własności | edytuj kod

Dla każdego punktu x 0 X {\displaystyle x_{0}\in X} i każdego skalara α K { 0 } {\displaystyle \alpha \in K\setminus \{0\}} odwzorowania: x x + x 0 , x X {\displaystyle x\mapsto x+x_{0},\;x\in X} i x α x , x X {\displaystyle x\mapsto \alpha x,\;x\in X} homeomorfizmami przestrzeni X {\displaystyle X} na przestrzeń X . {\displaystyle X.} Zasadne jest więc badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do otoczeń zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób przez homeomorfizmy na inne punkty. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i zwarte podzbiory przestrzeni X {\displaystyle X} dają się oddzielać zbiorami otwartymi.

Zbiory ograniczone | edytuj kod

Nie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji zbioru ograniczonego. Zbiór A {\displaystyle A} nazywa się ograniczonym, gdy dla każdego otoczenia zera U X {\displaystyle U\subseteq X} istnieje α ( 0 , ) , {\displaystyle \alpha \in (0,\infty ),} że A α U = { α u : u U } . {\displaystyle A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon \;u\in U\}.}

Można wykazać, że jeśli X {\displaystyle X} jest jednocześnie przestrzenią unormowaną, to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli X {\displaystyle X} jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego, nie musi być to prawda nawet wtedy, gdy metryka ϱ {\displaystyle \varrho } na X {\displaystyle X} jest niezmiennicza, tzn. spełnia warunek ϱ ( x , y ) = ϱ ( x + z , y + z ) {\displaystyle \varrho (x,y)=\varrho (x+z,y+z)} dla x , y , z X . {\displaystyle x,y,z\in X.}

Charakteryzacja zbiorów ograniczonych | edytuj kod

Równoważnie, zbiór A {\displaystyle A} jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera U X {\displaystyle U\subseteq X} istnieje takie α ( 0 , ) , {\displaystyle \alpha \in (0,\infty ),} że dla każdego β α , ) {\displaystyle \beta \in [\alpha ,\infty )} zbiór A {\displaystyle A} zawiera się w zbiorze β U . {\displaystyle \beta U.}

Ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:
Zbiór A X {\displaystyle A\subseteq X} jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

lim n α n x n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\alpha _{n}x_{n}=0}

dla każdego ciągu ( x n ) n N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} elementów tego zbioru i każdego ciągu ( α n ) n N {\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }} elementów ciała K , {\displaystyle K,} zbieżnego do zera.

Zbiory zbalansowane | edytuj kod

Zbiór A X {\displaystyle A\subseteq X} nazywa się zbalansowanym, gdy dla każdego α K {\displaystyle \alpha \in K} takiego, że | α | 1 {\displaystyle |\alpha |\leqslant 1} zbiór α A A . {\displaystyle \alpha A\subseteq A.}

Domknięcie zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. Wnętrze zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każde wypukłe otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.

Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych | edytuj kod

W literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna (X, τ) jest:

Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma przeliczalną bazę otoczeń[2]. Przestrzeń X jest natomiast normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. Przestrzeń X ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń X ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.

Przykład | edytuj kod

Produkt dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.

Na przykład przestrzeń X {\displaystyle X} wszystkich funkcji rzeczywistych f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } może być utożsamiany z przestrzenią R R , {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },} wyposażoną w topologię Tichonowa. Topologię na X {\displaystyle X} nazywa się topologią zbieżności punktowej (zob. zbieżność punktowa ciągu funkcji). Przestrzeń ta nie jest metryzowalna, a więc i nie normowalna.

Ciągi Cauchy’ego | edytuj kod

 Osobny artykuł: ciąg Cauchy’ego#Przestrzenie liniowo-topologiczne.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta – inni, zdefiniowaną tu przestrzeń Frécheta, nazywają F-przestrzenią.
  2. Zob. Pierwszy aksjomat przeliczalności.

Bibliografia | edytuj kod

  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001, s. 19–24.
Kontrola autorytatywna (przestrzeń liniowa):
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń liniowo-topologiczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy