Przestrzeń metryczna


Przestrzeń metryczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Przestrzeń metrycznazbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę zbiorów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez Maurice’a Frécheta[1].

Definicja metryki | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze X {\displaystyle X} nazywa się funkcję[2]

d : X × X 0 , + ) , {\displaystyle d\colon X\times X\to [0,+\infty ),}

która dla dowolnych elementów a , b , c {\displaystyle a,b,c} tego zbioru spełnia warunki:

  1. identyczność nierozróżnialnych d ( a , b ) = 0 a = b , {\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b,}
  2. symetria d ( a , b ) = d ( b , a ) , {\displaystyle d(a,b)=d(b,a),}
  3. nierówność trójkąta d ( a , b ) d ( a , c ) + d ( c , b ) . {\displaystyle d(a,b)\leqslant d(a,c)+d(c,b).}

Gdy d {\displaystyle d} jest metryką w zbiorze X , {\displaystyle X,} to parę ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} nazywa się przestrzenią metryczną,

  • elementy zbioru X {\displaystyle X} nazywa się punktami,
  • liczbę d ( a , b ) {\displaystyle d(a,b)} nazywa się odległością punktu a {\displaystyle a} od punktu b . {\displaystyle b.}

Uwaga 1. | edytuj kod

Niekiedy pomija się warunek nieujemności d ( a , b ) 0 {\displaystyle d(a,b)\geqslant 0} przyjmując d : X × X R {\displaystyle d\colon X\times X\to \mathbb {R} } zamiast d : X × X 0 , + ) . {\displaystyle d\colon X\times X\to [0,+\infty ).}

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:

0 = d ( a , a ) d ( a , b ) + d ( b , a ) = 2 d ( a , b ) . {\displaystyle 0=d(a,a)\leqslant d(a,b)+d(b,a)=2\cdot d(a,b).}

Uwaga 2. | edytuj kod

Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:

d ( a , b ) d ( a , c ) + d ( b , c ) . {\displaystyle d(a,b)\leqslant d(a,c)+d(b,c).}

Dowód:

1) Przyjmując w powyższym warunku c = a {\displaystyle c=a} dostaniemy:

d ( a , b ) d ( a , a ) + d ( b , a ) = d ( b , a ) . {\displaystyle d(a,b)\leqslant d(a,a)+d(b,a)=d(b,a).}

2) Zamieniając w powyższym warunku a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} oraz przyjmując c = b {\displaystyle c=b} dostaniemy:

d ( b , a ) d ( b , b ) + d ( a , b ) = d ( a , b ) . {\displaystyle d(b,a)\leqslant d(b,b)+d(a,b)=d(a,b).}

3) Z powyższych dwóch nierówności wynika: d ( a , b ) = d ( b , a ) , {\displaystyle d(a,b)=d(b,a),} c.n.d.

Metryki w przestrzeni liniowej | edytuj kod

W przestrzeni liniowej (np. euklidesowej, unormowanej, unitarnej) można wprowadzić różnie zdefiniowane metryki. W wyniku tego przestrzeń nabywa dodatkowej struktury – powstaje przestrzeń metryczna. W poniższych przykładach x = ( x 1 , x 2 , , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} oraz y = ( y 1 , y 2 , , y n ) {\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})} oznaczają elementy przestrzeni R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}

Metryka euklidesowa | edytuj kod

Metrykę euklidesową w przestrzeni R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} definiuje się wzorem

d e ( x , y ) = ( y 1 x 1 ) 2 + + ( y n x n ) 2 , {\displaystyle d_{e}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\dots +(y_{n}-x_{n})^{2}}},}

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:

d e ( x , y ) = y x , y x . {\displaystyle d_{e}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {\langle \mathbf {y} -\mathbf {x} ,\mathbf {y} -\mathbf {x} \rangle }}.}

W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do wartości bezwzględnej różnic współrzędnych punktów x = ( x 1 ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1})} oraz y = ( y 1 ) {\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1})}

d e ( x , y ) = | y 1 x 1 | . {\displaystyle d_{e}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|y_{1}-x_{1}|.}

Metryka generowana przez normę | edytuj kod

Jeżeli ( X , ) {\displaystyle (X,\|\cdot \|)} jest przestrzenią unormowaną, to jako odległość (metrykę) punktów x , y {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} } można przyjąć długość (normę) wektora, będącego różnicą wektorów x , y , {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,} tj.

d ( x , y ) = x y {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|} dla x , y X {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X}

Metryka ta jest uogólnieniem metryki euklidesowej. Np. metrykami są funkcje postaci

x y p = ( | x 1 y 1 | p + | x 2 y 2 | p + + | x n y n | p ) 1 / p {\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|_{p}={\big (}|x_{1}-y_{1}|^{p}+|x_{2}-y_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}-y_{n}|^{p}{\big )}^{1/p}}

gdzie 1 p < . {\displaystyle 1\leqslant p<\infty .} Metryka 2 {\displaystyle \|\cdot \|_{2}} jest metryką euklidesową i oznacza się ją symbolem | | . {\displaystyle |\cdot |.}

Metrykę, którą definiuje się w oparciu o normę przestrzeni, nazywa się metryką generowaną przez normę.

Metryka maksimum | edytuj kod

 Zobacz też: odległość Czebyszewa.

Metryka maksimum zwana także metryką nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachową jest określona w przestrzeni R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} za pomocą wzoru

d ( x , y ) = max k = 1 , , n   | x k y k | {\displaystyle d_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\max _{k=1,\dots ,n}~|x_{k}-y_{k}|}

– odległość ta jest de facto metryką generowaną przez normę maksimum zadaną wzorem

x = max { | x i | : i = 1 , , n } . {\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\max {\big \{}|x_{i}|:i=1,\dots ,n{\big \}}.}

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Łatwo sprawdzić, że w grze w szachy minimalna liczba ruchów, jakie musi wykonać król, aby przejść z pewnego pola na inne określona jest tą metryką (na rysunku obok pokazano możliwe ruchy króla z danego pola).

Metryka węzła kolejowego | edytuj kod

 Zobacz też: jeż (topologia).

Metryka węzła kolejowego zwana także metryką centrum, kolejową, metra paryskiego może być zdefiniowana na płaszczyźnie.

Niech O {\displaystyle O} będzie pewnym ustalonym punktem na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów A , B {\displaystyle A,B} w tej metryce wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej przechodzącej przez punkt O , {\displaystyle O,} to d k ( A , B ) = d e ( A , B ) , {\displaystyle d_{k}(A,B)=d_{e}(A,B),} w przeciwnym wypadku d k ( A , B ) = d e ( A , O ) + d e ( O , B ) . {\displaystyle d_{k}(A,B)=d_{e}(A,O)+d_{e}(O,B).}

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} w której ustalono pewien jej punkt O . {\displaystyle O.}

Metrykę powyższą można też zastosować do labiryntu, w którym wszystkie korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście od jednego punktu O . {\displaystyle O.} Przejście z jednego korytarza do drugiego wymaga dotarcia do skrzyżowania (centrum), aby możliwe było skręcenie w docelowy korytarz. Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.

Metryka rzeka | edytuj kod

Odległość w metryce rzeka.

Niech r {\displaystyle r} będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość d r ( A , B ) {\displaystyle d_{r}(A,B)} punktów A , B {\displaystyle A,B} w metryce rzece wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej r , {\displaystyle r,} to d r ( A , B ) = d e ( A , B ) , {\displaystyle d_{r}(A,B)=d_{e}(A,B),} w przeciwnym wypadku d r ( A , B ) = d e ( A , C 1 ) + d e ( C 1 , C 2 ) + d e ( C 2 , B ) . {\displaystyle d_{r}(A,B)=d_{e}(A,C_{1})+d_{e}(C_{1},C_{2})+d_{e}(C_{2},B).} gdzie C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio A , B {\displaystyle A,B} na prostą r . {\displaystyle r.}

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} w której ustalono pewną jej prostą r . {\displaystyle r.}

Metrykę tą można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, prostopadłych jej dopływów (por. rysunek).

Uogólniona metryka rzeka | edytuj kod

Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej rozmaitość liniową r {\displaystyle \mathbb {r} } wymiaru a spełniającego 0 a < n . {\displaystyle 0\leqslant a<n.} Niech ponadto 0 < b < n , {\displaystyle 0<b<n,} przy czym a + b n . {\displaystyle a+b\leqslant n.}

Jeżeli punkty A , B {\displaystyle A,B} leżą na pewnej rozmaitości wymiaru b {\displaystyle b} prostopadłej do rozmaitości r , {\displaystyle r,} to d r ( A , B ) = d e ( A , B ) , {\displaystyle d_{r}(A,B)=d_{e}(A,B),} w przeciwnym wypadku d r ( A , B ) = d e ( A , C 1 ) + d e ( C 1 , C 2 ) + d e ( C 2 , B ) . {\displaystyle d_{r}(A,B)=d_{e}(A,C_{1})+d_{e}(C_{1},C_{2})+d_{e}(C_{2},B).} gdzie C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio A , B {\displaystyle A,B} na prostą r . {\displaystyle r.}

Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego.

Metryka dyskretna | edytuj kod

Metrykę dyskretną zwaną także metryką zero-jedynkową wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze. Odległość d d ( x , y ) {\displaystyle d_{d}(x,y)} punktów x {\displaystyle x} oraz y {\displaystyle y} zbioru X {\displaystyle X} określa wzór[3]

d d ( x , y ) = { 0 , gdy  x = y , 1 , gdy  x y . {\displaystyle d_{d}(x,y)={\begin{cases}0,&{\text{gdy }}x=y,\\1,&{\text{gdy }}x\neq y.\end{cases}}}

Parę X {\displaystyle X} z metryką d d {\displaystyle d_{d}} nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.

Porównanie metryk przytoczonych w przykładach | edytuj kod

Dla n = 1 {\displaystyle n=1} metryki euklidesowa, Manhattan, szachowa pokrywają się. Jeżeli n = 2 , {\displaystyle n=2,} to metryki szachowa i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Metryka w przestrzeniach pseudoriemannowskich | edytuj kod

Powierzchnia sfery, elipsoidy obrotowej, hiperboloidy obrotowej, czy też 4-wymiarowa czasoprzestrzeń opisywana w ogólnej teorii względności są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości riemannowskie i najogólniejsze – rozmaitości pseudoriemannowskie.

Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. w przestrzeni euklidesowej. Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.

Niech M {\displaystyle M} będzie rozmaitością wymiaru n {\displaystyle n} i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe x = ( x 1 , , x n ) . {\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n}).}

Odległość infinitezymalna | edytuj kod

Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora d x = ( d x 1 , , d x n ) {\displaystyle d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})} łączącego punkt x {\displaystyle \mathbf {x} } z infinitezymalnie odległym punktem y = x + d x {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {x} +d\mathbf {x} } zadana jest wzorem

| d x | = | i , j = 1 n g i j ( x ) d x i d x j | {\displaystyle |d\mathbf {x} |={\sqrt {{\Bigg |}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} )dx^{i}dx^{j}{\Bigg |}}}}

gdzie:

g i j ( x ) , i , j = 1 , , n {\displaystyle g_{ij}(\mathbf {x} ),i,j=1,\dots ,n}

– współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia x {\displaystyle \mathbf {x} } )

Odległość dowolnych punktów | edytuj kod

Dla punktów x , y {\displaystyle \mathbf {x,y} } rozmaitości M {\displaystyle M} dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych γ {\displaystyle \gamma } ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty x , y , {\displaystyle \mathbf {x,y} ,} czyli

d ( x , y ) = inf { L ( γ ) , γ M , γ ( a ) = x , γ ( b ) = y } {\displaystyle d(\mathbf {x,y} )=\inf \,\{\,L(\gamma ),{\gamma }\in M\,,\gamma (a)=\mathbf {x} ,\gamma (b)=\mathbf {y} \}}

gdzie:

  • inf { . . . } {\displaystyle \inf \,\{...\}} = infimum = kres dolny zbioru
  • L ( γ ) = a b | i , j = 1 n g i j ( γ ( t ) ) d γ i ( t ) d t d γ j ( t ) d t | d t {\displaystyle L(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\Bigg |}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t)){\frac {d\gamma ^{i}(t)}{dt}}{\frac {d\gamma ^{j}(t)}{dt}}{\Bigg |}}}\,dt} – długość krzywej γ {\displaystyle \gamma }

przy czym krzywa γ {\displaystyle \gamma } dana jest przez n {\displaystyle n} równań parametrycznych

γ ( t ) = γ 1 ( t ) , , γ n ( t ) , {\displaystyle \gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],} t a , b {\displaystyle t\in \langle a,b\rangle }

oraz

γ ( a ) = x , γ ( b ) = y {\displaystyle \gamma (a)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (b)=\mathbf {y} }

Dla przestrzeni riemannowskich odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. Dla sfery będzie to łuk koła wielkiego, na którym leżą dwa punkty. A np. dla czasoprzestrzeni, która jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską, odległość może być zerowa, jeśli łączy dwa punkty – tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne – które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.

Topologia przestrzeni metrycznej | edytuj kod

Przestrzeń metryczną X {\displaystyle X} łatwo jest przekształcić w przestrzeń topologiczną, definiując następująco topologię:

a) bazę topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci

B ( x , r ) = { y X : d ( x , y ) < r } , {\displaystyle B(x,r)=\{y\in X:d\,(x,y)<r\},}

gdzie x {\displaystyle x} – dowolny elementem przestrzeni X , {\displaystyle X,} r {\displaystyle r} – promień kuli ( r > 0 ) , {\displaystyle (r>0),}

b) podzbiór U {\displaystyle U} przestrzeni X {\displaystyle X} należy do topologii (czyli jest zbiorem otwartym), jeżeli jest sumą kul otwartych.

Taką topologię nazywa się topologią generowaną na zbiorze X {\displaystyle X} przez metrykę d . {\displaystyle d.}

Metryzowalna przestrzeń topologiczna | edytuj kod

 Osobny artykuł: Przestrzeń metryzowalna.

Przestrzeń topologiczną ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} nazywamy przestrzenią metryzowalną, jeśli da się w niej wprowadzić topologię generowaną przez jakąś metrykę. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są:

Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych (analogicznie jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych).

Własności przestrzeni metrycznych | edytuj kod

Tw. 1 Każda przestrzeń metryczna jest

Tw. 2 Poniższe niezmienniki topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych:

Definicja odległości punktu od zbioru | edytuj kod

 Osobny artykuł: metryka Hausdorffa.

Odległością (odstępem) punktu x {\displaystyle x} od zbioru A {\displaystyle A} nazywa się funkcję

δ A ( x ) = inf { d ( x , a ) : a A } . {\displaystyle \delta _{A}(x)=\inf {\big \{}d(x,a):a\in A{\big \}}.}

Równoważność metryk | edytuj kod

Definicja | edytuj kod

Niech ( X , d 1 ) , ( X , d 2 ) {\displaystyle (X,d_{1}),(X,d_{2})} będą przestrzeniami metrycznymi.

Df. 1 Metryki d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1},d_{2}} nazywa się równoważnymi topologicznie, jeżeli granice dowolnych ciągów obliczone z użyciem tych metryk są identyczne[4].

Df. 2 Metryki d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1},d_{2}} nazywa się równoważnymi lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe c , C > 0 , {\displaystyle c,\,C\,>0,} takie że dla każdego x , y X {\displaystyle x,y\in X} spełniony jest warunek

c d 1 ( x , y ) d 2 ( x , y ) C d 1 ( x , y ) . {\displaystyle c\cdot d_{1}(x,y)\leqslant d_{2}(x,y)\leqslant C\cdot d_{1}(x,y).}

Twierdzenia o metrykach równoważnych | edytuj kod

Tw. 1 Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru X {\displaystyle X} jest zbieżny w sensie metryki d 1 , {\displaystyle d_{1},} to jest także zbieżny w sensie metryki d 2 . {\displaystyle d_{2}.}

Tw. 2 W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.

Tw. 3 Gdy dwie normy Banacha zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Metryka niezmiennicza na przesunięcia | edytuj kod

Metrykę d {\displaystyle d} nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej X {\displaystyle X} określone jest działanie dodawania + : X × X X {\displaystyle +\colon X\times X\to X} i dla dowolnych punktów a , x , y X {\displaystyle a,x,y\in X} zachodzi warunek

d ( x , y ) = d ( x + a , y + a ) . {\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a).}

Uogólnienia | edytuj kod

Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne układy aksjomatów:

  • zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym
d ( a , a ) = 0 {\displaystyle d(a,a)=0} uzyskuje się tzw. pseudometrykę.
  • rezygnując z aksjomatu symetrii uzyskuje się quasi-metrykę
  • zastępując warunek trójkąta aksjomatem
d ( a , b ) max { d ( a , c ) , d ( c , b ) } {\displaystyle d(a,b)\leqslant \max {\big \{}d(a,c),d(c,b){\big \}}} uzyskuje się funkcję nazywaną ultrametryką.

Zobacz też | edytuj kod

Inne typy metryk:

Pseudometryki:

Przestrzenie metryzowalne:

Przypisy | edytuj kod

  1. Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.
  2. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 31.
  3. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 31.
  4. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 33.

Bibliografia | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (przestrzeń pseudometryczna):
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń metryczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy