Przestrzeń ośrodkowa


Przestrzeń ośrodkowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń topologiczna ośrodkowaprzestrzeń topologiczna ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} zawierająca taki podzbiór, który jest przeliczalny i gęsty. Podzbiór ten nazywany jest ośrodkiem.

Ten sam zbiór X {\displaystyle X} może tworzyć przestrzeń ośrodkową lub nie – zależy to od doboru topologii τ . {\displaystyle \tau .} Np. zbiór liczb rzeczywistych

Podstawowe własności | edytuj kod

  1. Przestrzeń topologiczna o bazie przeliczalnej, tzn. przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest ośrodkowa. Z drugiej strony prosta Sorgenfreya jest przykładem przestrzeni topologicznej ośrodkowej, która nie ma przeliczalnej bazy.
  2. Przestrzeń metryzowalna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń posiada bazę przeliczalną.
  3. Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa. (Założenie metryzowalności jest istotne – produkt dwóch prostych Sorgenfreya jest przestrzenią ośrodkową posiadającą podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, a więc nieośrodkową.)
  4. Przestrzeń zwarta metryczna jest ośrodkowa.
  5. Iloczyn kartezjański maksymalnie 2 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
  6. Obrazem ciągłym przestrzeni ośrodkowej jest przestrzeń ośrodkowa.
  7. Ośrodkowa przestrzeń Hausdorffa ma moc nie większą niż 2 c , {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}},} gdzie c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} to continuum. Fakt ten nie jest prawdziwy dla przestrzeni spełniających aksjomat T 1 . {\displaystyle T_{1}.} Istotnie niech X {\displaystyle X} będzie dowolnym zbiorem nieskończonym, na którym rozważamy topologię składającą się ze zbiorów będących dopełnieniami zbiorów skończonych, tzn. τ = { X F : F {\displaystyle \tau =\{X\setminus F:F} jest skończony } . {\displaystyle \}.} Wówczas ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} jest przestrzenią T 1 , {\displaystyle T_{1},} w której ośrodkiem jest dowolny zbiór przeliczalny nieskończony. To pokazuje, że istnieją ośrodkowe przestrzenie T 1 {\displaystyle T_{1}} dowolnej mocy.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Przestrzeń ośrodkowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy