Przestrzeń parazwarta


Przestrzeń parazwarta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń parazwartaprzestrzeń Hausdorffa o tej własności, że w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone (tzn. takie, że dla każdego punktu x {\displaystyle x} przestrzeni X {\displaystyle X} istnieje takie otoczenie otwarte U x , {\displaystyle U_{x},} że U x {\displaystyle U_{x}} ma niepusty przekrój ze skończoną liczbą elementów tego pokrycia). Słowa „wpisać” w definicji nie można zastąpić słowem „wybrać”. Niektórzy autorzy (na przykład Kenneth Kunen) pomijają założenie bycia przestrzenią Hausdorffa w definicji parazwartości. Pojęcie przestrzeni parazwartej zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Jeana Dieudonné[1] w 1944 roku.

Spis treści

Przykłady | edytuj kod

Przykłady przestrzeni parazwartych:

  • przestrzenie zwarte Hausdorffa
  • przestrzenie metryzowalne
  • regularne przestrzenie Lindelöfa (w niektórych źródłach pomijane jest słowo regularne); na przykład, prosta Sorgenfreya.
  • Jeżeli ( X n ) n N {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest ciągiem przestrzeni topologicznych takim, że dla każdej liczby naturalnej n {\displaystyle n} przestrzeń k = 1 n X k {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}X_{k}} jest parazwarta, to przestrzeń n = 1 X n {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }X_{n}} jest parazwarta.

Własności | edytuj kod

  • Każda przestrzeń parazwarta jest normalna[1] i kolektywnie normalna.
  • Domknięta podprzestrzeń przestrzeni parazwartej jest parazwarta.
  • Przestrzeń topologiczna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta i lokalnie metryzowalna.
  • Twierdzenie Michaela: Parazwartość jest niezmiennikiem przekształceń domkniętych.
  • Parazwartość jest niezmiennikiem przekształceń doskonałych.
  • Przestrzeń topologiczna X {\displaystyle X} jest parazwarta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni zwartej Y {\displaystyle Y} iloczyn kartezjański X × Y {\displaystyle X\times Y} jest przestrzenią normalną.

Uogólnienia | edytuj kod

Także pojęcie parazwartości doczekało się dalszych uogólnień. W literaturze wyróżnia się co najmniej kilkanaście typów przestrzeni topologicznych rozszerzających pojęcie przestrzeni parazwartej. Dla przykładu:

Przestrzeń topologiczną nazywamy:

  • przeliczalnie parazwartą, jeśli w każde jej przeliczalne pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone.
  • κ {\displaystyle \kappa } -parazwartą, jeśli w każde jej pokrycie otwarte mocy κ {\displaystyle \leqslant \kappa } można wpisać podpokrycie lokalnie skończone, gdzie κ {\displaystyle \kappa } jest pewną nieskończoną liczbą kardynalną.
  • subparazwartą, jeśli w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie σ-lokalnie skończone.

Także w przypadku tych rodzajów przestrzeni pozostaje w mocy uwaga przy definicji przestrzeni parazwartej, dotycząca założenia hausdorffowości przestrzeni.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b J. Dieudonne, Une generalisation des espaces compacts, J. Math. Pures Appl. (9) 23 (1944), s. 65-76.

Bibliografia | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (przestrzeń topologiczna):
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń parazwarta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy