Przestrzeń probabilistyczna


Przestrzeń probabilistyczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i określenie na jej podzbiorach funkcji prawdopodobieństwa spełniającej odpowiednie aksjomaty.

Powszechnie dziś przyjmowana aksjomatyka prawdopodobieństwa (zwana aksjomatami Kołmogorowa) została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa i pozwoliła ująć teorię prawdopodobieństwa w postaci nowoczesnej teorii aksjomatycznej.

Definicje | edytuj kod

 Zobacz też: funkcja addytywna zbioru, przestrzeń mierzalnamiara.

Konstrukcja przestrzeni probabilistycznej ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} przebiega w trzech etapach:

  1. ustalenie niepustego zbioru Ω , {\displaystyle \Omega ,} zwanego przestrzenią zdarzeń elementarnych,
  2. określenie na nim σ-ciała F , {\displaystyle {\mathcal {F}},} zwanego przestrzenią zdarzeń losowych,
  3. określenie na F {\displaystyle {\mathcal {F}}} unormowanej miary P {\displaystyle P} miary probabilistycznej (prawdopodobieństwa).

Definicja prawdopodobieństwa | edytuj kod

Niech F {\displaystyle {\mathcal {F}}} będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze Ω . {\displaystyle \Omega .} Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.

Funkcję P : F R {\displaystyle P\colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} } o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:

  • nieujemności (tj. prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne): P ( A ) 0 {\displaystyle P(A)\geqslant 0} dla dowolnego zdarzenia A F ; {\displaystyle A\in {\mathcal {F}};}
  • unormowania do jedności (tj. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1): P ( Ω ) = 1 ( Ω F ) ; {\displaystyle P(\Omega )=1\qquad (\Omega \in {\mathcal {F}});}
  • przeliczalnej addytywności (dla przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłącznych): P ( i I A i ) = i I P ( A i ) , {\displaystyle P\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\sum _{i\in I}P(A_{i}),}

przy czym A i A j = , {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing ,} gdy i j . {\displaystyle i\neq j.}

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja P {\displaystyle P} jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.

Definicja przestrzeni probabilistycznej | edytuj kod

Układ ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa | edytuj kod

 Zobacz też: miara – własności.

Niech A 1 , A 2 , , A , B , A c F . {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A,B,A^{c}\in {\mathcal {F}}.}

Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:

  • prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, tj. prawdopodobieństwa są określone liczbami skończonymi,
  • prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe: P ( ) = 0 ( F ) , {\displaystyle P(\varnothing )=0\quad (\varnothing \in {\mathcal {F}}),}
  • skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych): P ( i I A i ) = i I P ( A i ) , {\displaystyle P\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\sum _{i\in I}P(A_{i}),} A i A j = {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing } dla i j , {\displaystyle i\neq j,} przy czym sumowanie dotyczy skończonej liczby zbiorów,
  • prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: P ( A c ) = 1 P ( A ) , {\displaystyle P(A^{\mathrm {c} })=1-P(A),} przy czym A c {\displaystyle A^{\mathrm {c} }} jest zdarzeniem przeciwnym do A , {\displaystyle A,}
  • ograniczenie górne prawdopodobieństwa: P ( A ) 1 , {\displaystyle P(A)\leqslant 1,}
  • monotoniczność: P ( A ) P ( B ) {\displaystyle P(A)\leqslant P(B)} dla A B , {\displaystyle A\subseteq B,}
  • prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń): P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B ) . {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}

Definicje prawdopodobieństwa | edytuj kod

Definicja klasyczna (dla zbiorów skończonych) | edytuj kod

Ω {\displaystyle \Omega } jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że F {\displaystyle {\mathcal {F}}} jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru Ω , {\displaystyle \Omega ,} a prawdopodobieństwo P {\displaystyle P} dane jest wzorem

P ( A ) = # A # Ω {\displaystyle P(A)={\frac {\#A}{\#\Omega }}} dla każdego zbioru A F , {\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}

gdzie # C {\displaystyle \#C} oznacza liczbę elementów zbioru C . {\displaystyle C.} Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa[1].

Definicja geometryczna (dla zbiorów nieskończonych) | edytuj kod

Niech dany będzie zbiór Ω {\displaystyle \Omega } oraz zadana będzie miara μ {\displaystyle \mu } na tym zbiorze tak, że miara zbioru Ω {\displaystyle \Omega } jest skończona.

Wtedy zbiór Ω {\displaystyle \Omega } może pełnić rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych, zaś określone na tym zbiorze σ-ciało F {\displaystyle {\mathcal {F}}} podzbiorów mierzalnych stanowi zbiór możliwych zdarzeń elementarnych.

Definicja: Prawdopodobieństwem zdarzenia A F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} jest iloraz miary μ ( A ) {\displaystyle \mu (A)} podzbioru A {\displaystyle A} przez miarę μ ( Ω ) {\displaystyle \mu (\Omega )} przestrzeni Ω , {\displaystyle \Omega ,} tj.

P ( A ) = μ ( A ) μ ( Ω ) {\displaystyle P(A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}}} dla każdego zbioru A F , {\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}

Np.

  • Ω {\displaystyle \Omega } jest przedziałem jednostkowym Ω = 0 , 1 {\displaystyle \Omega =[0,1]}
  • F {\displaystyle {\mathcal {F}}} jest σ-ciałem podzbiorów przedziału 0 , 1 , {\displaystyle [0,1],} które są mierzalne w sensie Lebesgue’a, tj. F L 0 , 1 , {\displaystyle {\mathcal {F}}\equiv {\mathfrak {L}}_{[0,1]},}
  • P {\displaystyle P} jest miarą Lebesgue’a λ {\displaystyle \lambda } określoną na P , {\displaystyle P,} tj. P λ , {\displaystyle P\equiv \lambda ,}

Mówimy wtedy, że przestrzeń probabilistyczna ( 0 , 1 , L 0 , 1 , λ ) {\displaystyle ([0,1],{\mathfrak {L}}_{[0,1]},\lambda )} realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.

Przykłady innych miar prawdopodobieństwa | edytuj kod

1) Niech ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś X : Ω R {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} } niech będzie zmienną losową. Jeżeli P X {\displaystyle P_{X}} jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) X , {\displaystyle X,} tj.

P X ( A ) = P ( X 1 ( A ) )   =   o z n   P ( X A ) {\displaystyle P_{X}(A)=P{\big (}X^{-1}(A){\big )}\ {\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{\ }}{=}}\ P(X\in A)} dla dowolnego A B R , {\displaystyle A\in {\mathfrak {B}}_{\mathbb {R} },} B R {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\mathbb {R} }} oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na R , {\displaystyle \mathbb {R} ,}

to P X {\displaystyle P_{X}} jest miarą probabilistyczną, wobec czego ( R , B R , P X ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}}_{\mathbb {R} },P_{X})} również jest przestrzenią probabilistyczną.

2) Do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Niech Ω = { ω 1 , , ω n } {\displaystyle \Omega =\{\omega _{1},\dots ,\omega _{n}\}} oraz F {\displaystyle {\mathcal {F}}} jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru Ω ; {\displaystyle \Omega ;} niech wszystkie zdarzenia elementarne mają równe prawdopodobieństwa, tj. P ( ω i ) = p {\displaystyle P(\omega _{i})=p} dla i n {\displaystyle i\leqslant n} (są to „założenia” definicji klasycznej). Na podstawie II i III aksjomatu prawdopodobieństwa zachodzi ciąg równości 1 = P ( Ω ) = P ( { ω 1 , , ω n } ) = P ( { ω 1 } { ω n } ) = P ( { ω 1 } ) + + P ( { ω n } ) = n p , {\displaystyle 1=P(\Omega )=P(\{\omega _{1},\dots ,\omega _{n}\})=P(\{\omega _{1}\}\cup \dots \cup \{\omega _{n}\})=P(\{\omega _{1}\})+\dots +P(\{\omega _{n}\})=np,} skąd p = 1 / n . {\displaystyle p=1/n.} Analogicznie jak w przypadku zbioru Ω {\displaystyle \Omega } dowodzi się, że P ( A ) = m p , {\displaystyle P(A)=mp,} o ile # A = m ; {\displaystyle \#A=m;} stąd wynika już, że P ( A ) = m p = m / n , {\displaystyle P(A)=mp=m/n,} czyli P ( A ) = # A / # Ω . {\displaystyle P(A)=\#A/\#\Omega .}

Bibliografia | edytuj kod

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń probabilistyczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy