Przestrzeń regularna


Przestrzeń regularna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń regularna i przestrzeń T 3 {\displaystyle T_{3}} to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.

Spis treści

Definicje | edytuj kod

Powiemy że w przestrzeni topologicznej X {\displaystyle X} punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli

dla każdego zbioru domkniętego F X {\displaystyle F\subseteq X} i dowolnego punktu x X F {\displaystyle x\in X\setminus F} można znaleźć rozłączne zbiory otwarte U , V X {\displaystyle U,V\subseteq X} takie że x U {\displaystyle x\in U} i F V : {\displaystyle F\subseteq V{:}}

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że punkt x {\displaystyle x} i zbiór domknięty F {\displaystyle F} są rozdzielone przez otoczenia otwarte U , V {\displaystyle U,V} .

Przestrzeń topologiczna X {\displaystyle X} jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy X {\displaystyle X} jest przestrzenią T1 w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa | edytuj kod

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń T 3 {\displaystyle T_{3}} w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
  • przestrzeń T 3 {\displaystyle T_{3}} jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T1.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią T 3 {\displaystyle T_{3}} i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady | edytuj kod

  • Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest T 3 . {\displaystyle T_{3}.} W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
  • Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są T 3 1 2 . {\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}.} Na przykład rozważmy podzbiór M =: { ( x , y ) R 2 : y 0 } { ( 0 , 1 ) } {\displaystyle M=:\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}:y\geqslant 0\}\cup \{(0,-1)\}} płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze M {\displaystyle M} wprowadzamy topologię τ {\displaystyle \tau } przez określenie bazy otoczeń B ( x , y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)} w każdym punkcie ( x , y ) M : {\displaystyle (x,y)\in M{:}}
    • jeśli y > 0 , {\displaystyle y>0,} to B ( x , y ) = { { ( x , y ) } } , {\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)=\{\{(x,y)\}\},}
    • jeśli y = 0 , {\displaystyle y=0,} to B ( x , y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)} składa się ze wszystkich zbiorów postaci { ( x , v ) R 2 : 0 v 2   } { ( x + v , v ) R 2 : 0 v 2 } B , {\displaystyle \{(x,v)\in {\mathbb {R} }^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup \{(x+v,v)\in {\mathbb {R} }^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B,} gdzie B {\displaystyle B} jest zbiorem skończonym,
    • B ( 0 , 1 ) = { U i : i = 1 , 2 , 3 , } , {\displaystyle {\mathcal {B}}(0,-1)=\{U_{i}:i=1,2,3,\dots \},} gdzie U i = { ( 0 , 1 ) } { ( u , v ) R 2 : i u } . {\displaystyle U_{i}=\{(0,-1)\}\cup \{(u,v)\in {\mathbb {R} }^{2}:i\leqslant u\}.}
Wtedy ( M , τ ) {\displaystyle (M,\tau )} jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.
  • Istnieją przestrzenie T 2 {\displaystyle T_{2}} które nie są T 3 . {\displaystyle T_{3}.} Rozważmy na przykład zbiór X = 0 , 1 {\displaystyle X=[0,1]} z topologią τ {\displaystyle \tau } otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na 0 , 1 {\displaystyle [0,1]} o zbiór 0 , 1 { 1 n : n = 2 , 3 , 4 } . {\displaystyle [0,1]\setminus \{{\tfrac {1}{n}}:n=2,3,4\ldots \}.} Wtedy ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} jest przestrzenią Hausdorffa która nie jest regularna.

Własności | edytuj kod

  • Przestrzeń topologiczna X {\displaystyle X} spełniająca warunek T 1 {\displaystyle T_{1}} jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego punktu x X {\displaystyle x\in X} i jego otoczenia otwartego V {\displaystyle V} (tak więc x V X {\displaystyle x\in V\subseteq X} ) istnieje otoczenie U {\displaystyle U} punktu x {\displaystyle x} którego domknięcie jest zawarte w V {\displaystyle V} (tzn. x U c l ( U ) V {\displaystyle x\in U\subseteq \mathrm {cl} (U)\subseteq V} ).
  • Każda regularna przestrzeń topologiczna X {\displaystyle X} która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną.
  • Podzbiór przestrzeni T 3 {\displaystyle T_{3}} traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią T 3 . {\displaystyle T_{3}.} Własność być przestrzenią T 3 {\displaystyle T_{3}} jest więc własnością dziedziczną.
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T 3 {\displaystyle T_{3}} jest przestrzenią T 3 . {\displaystyle T_{3}.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Kazimierz Kuratowski, Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 52.
  2. Ryszard Engelking, General Topology, Helderman, Berlin 1989, s. 38, ​ISBN 3-88538-006-4​.
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń regularna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy