Przestrzeń zdarzeń elementarnych


Przestrzeń zdarzeń elementarnych w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych, przestrzeń próbek losowych) – zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego; wyniki te nazywa się zdarzeniami elementarnymi.

Pojęcie zbioru zdarzeń elementarnych należy do podstawowych w rachunku prawdopodobieństwa.Tradycyjnie zbiór ten oznacza się literą Ω . {\displaystyle \Omega .}

Zbiór zdarzeń elementarnych stanowi jeden z trzech elementów modelu probabilistycznego opisującego dane doświadczenie losowe. Pozostałymi elementami są: zbiór zdarzeń losowych F {\displaystyle {\mathcal {F}}} (tj. mierzalnych podzbiorów Ω , {\displaystyle \Omega ,} które tworzą tzw. σ-ciało[1]) oraz miara probabilistyczna P {\displaystyle P} (prawdopodobieństwo) przypisana do każdego zdarzenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych Ω {\displaystyle \Omega } uzupełniony o σ-ciało F {\displaystyle {\mathcal {F}}} tworzy parę ( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} zwaną przestrzenią mierzalną. Przestrzeń mierzalna ( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} uzupełniona o miarę probabilistyczną tworzy trójkę ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} zwaną przestrzenią probabilistyczną.

Pomiędzy zdarzeniami elementarnymi a zdarzeniami losowymi istnieje istotna różnica: pierwsze są pojedynczymi elementami ω i {\displaystyle \omega _{i}} zbioru zdarzeń elementarnych (czyli ω i Ω {\displaystyle \omega _{i}\in \Omega } ), natomiast drugie są podzbiorami zbioru zdarzeń elementarnych – mogą więc zawierać wiele zdarzeń elementarnych, np. zdarzenie A = { ω i : ω i Ω } . {\displaystyle A=\{\omega _{i}:\omega _{i}\in \Omega \}.}

Przykłady | edytuj kod

  • Rzut jedną monetą: zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór Ω {\displaystyle \Omega } = {Orzeł, Reszka}, przy czym zdarzeniami elementarnymi są Orzeł oraz Reszka.
  • Rzut dwiema monetami: zbiór zdarzeń elementarnych ma postać par uporządkowanych Ω {\displaystyle \Omega } = {(O, O), (O, R), (R, O), (R,R)}, gdzie oznaczono: O = orzeł oraz R = reszka (na 1. miejscu notujemy wyniki rzutu 1. monetą, a na 2. miejscu wyniki rzutu 2. monetą).
  • Rzut n monet: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą n-ki uporządkowane, w których poszczególne elementy mogą przyjmować wartości O lub R.
  • Rzut pojedynczą kostką: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą liczby oczek, jakie można otrzymać w pojedynczym rzucie, tj. Ω 1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . {\displaystyle \Omega ^{1}=\{1,2,3,4,5,6\}.}
  • Rzut dwiema kostkami: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą pary liczb oczek, jakie można otrzymać w pojedynczym rzucie na każdej z kostek, tj. Ω 2 = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , . . . , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , . . , ( 6 , 6 ) } . {\displaystyle \Omega ^{2}=\{(1,1),(1,2),...,(1,6),(2,1),(2,2),..,(6,6)\}.} Zbiór zdarzeń elementarnych jest więc iloczynem kartezjańskim zbioru Ω 1 , {\displaystyle \Omega ^{1},} tj. Ω 2 = Ω 1 × Ω 1 . {\displaystyle \Omega ^{2}=\Omega ^{1}\times \Omega ^{1}.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Wymóg mierzalności jest konieczny, aby było możliwe przypisanie zdarzeniom prawdopodobieństw w sposób spójny. Wymóg mierzalności implikuje, że możliwe zdarzenia muszą tworzyć sigma-ciało na Ω . {\displaystyle \Omega .}

Bibliografia | edytuj kod

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, s. 7. ISBN 83-01-05928-1.
Na podstawie artykułu: "Przestrzeń zdarzeń elementarnych" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy