Przestrzeń zwarta


Przestrzeń zwarta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Przestrzeń zwartaprzestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. pewna skończona liczba zbiorów pokrycia tworzy pokrycie)[1].

Zbiorem zwartym nazywa się podzbiór przestrzeni topologicznej, który traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni) jest przestrzenią zwartą.

W niektórych źródłach (np. Engelking 1989 ↓) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby przestrzeń zwarta była przestrzenią Hausdorffa, a przestrzenie zdefiniowane z pominięciem tego warunku nazywa się przestrzeniami quasi-zwartymi[2].

Idea zwartości | edytuj kod

Z punktu widzenia topologi przestrzenie zwarte mają pewne pożądane własności, np.

  1. funkcja ciągła rzeczywista określona na przestrzeni zwartej jest ograniczona i osiąga swoje kresy,
  2. funkcja ciągła rzeczywista lub zespolona na przestrzeni metrycznej zwartej jest jednostajnie ciągła,
  3. każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna,
  4. w przestrzeni zwartej własność p {\displaystyle p} spełniana lokalnie jest też spełniana globalnie, tzn. jeżeli jakiekolwiek zbiory otwarte V , U {\displaystyle V,U} mają własność p , {\displaystyle p,} to również ich suma V U {\displaystyle V\cup U} ma tę własność[potrzebny przypis].

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych.

Przykłady zbiorów zwartych i niezwartych | edytuj kod

(1) Tw. 1. Przedział ( 0 , 1 ) R {\displaystyle (0,1)\subset \mathbb {R} } nie jest zbiorem zwartym.

Dowód: Rodzina zbiorów otwartych { ( 1 n , 2 n ) : n N , n 2 } = { ( 1 2 , 1 ) , ( 1 3 , 2 3 ) , ( 1 4 , 1 2 ) , ( 1 5 , 2 5 ) , } {\displaystyle \left\{\left({\frac {1}{n}},\;{\frac {2}{n}}\right):n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2\right\}=\left\{\left({\frac {1}{2}},\;1\right),\;\left({\frac {1}{3}},\;{\frac {2}{3}}\right),\;\left({\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}}\right),\;\left({\frac {1}{5}},\;{\frac {2}{5}}\right),\dots \right\}} jest pokryciem tego przedziału (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały przedział ( 0 , 1 ) . {\displaystyle (0,1).}

(2) Tw. 2. Przedział ( , ) = R {\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} } nie jest zbiorem zwartym.

Dowód: Rodzina zbiorów otwartych { ( n , n + 2 ) : n Z } = { ( 3 ; 1 ) , ( 2 ; 0 ) , ( 1 ; 1 ) , ( 0 ; 2 ) , ( 1 ; 3 ) , } {\displaystyle \{(n,\;n+2):n\in \mathbb {Z} \}=\{\dots (-3;-1),\;(-2;0),\;(-1;1),\;(0;2),\;(1;3),\dots \}} jest pokryciem zbioru R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby R . {\displaystyle \mathbb {R} .}

(3) Tw. 3. Przedział 0 , 1 R {\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} } jest zwarty.

Dowód: Niech σ {\displaystyle \sigma } będzie pokryciem odcinka 0 , 1 . {\displaystyle [0,1].} Zdefiniujmy zbiór Z = { x : 0 x 1 {\displaystyle Z=\{x:0\leqslant x\leqslant 1} i odcinek 0 , x {\displaystyle [0,x]} można pokryć skończoną podrodziną rodziny σ } {\displaystyle \sigma \}} Oczywiście 0 Z , {\displaystyle 0\in Z,} bo przedział 0 , 0 = { 0 } {\displaystyle [0,0]=\{0\}} jest pokryty pewnym elementem rodziny σ . {\displaystyle \sigma .} Zbiór Z {\displaystyle Z} jest więc niepusty i ograniczony z góry. Ma więc kres górny z {\displaystyle z}   i   z 0 , 1 . {\displaystyle z\in [0,1].} Zauważmy, że z > 0 , {\displaystyle z>0,} bo biorąc jakieś otoczenie A σ {\displaystyle A\in \sigma } punktu 0 , {\displaystyle 0,} znajdziemy pewien przedział 0 ; ϵ A , ϵ > 0 , {\displaystyle [0;\epsilon ]\subset A,\,\epsilon >0,} a stąd ϵ Z , {\displaystyle \epsilon \in Z,} czyli z ϵ > 0. {\displaystyle z\geqslant \epsilon >0.} Przypuśćmy, że z < 1 {\displaystyle z<1} i niech z A σ {\displaystyle z\in A\in \sigma } dla pewnego przedziału otwartego A , {\displaystyle A,} istnieje wówczas przedział z ϵ ; z + ϵ A , ϵ > 0 , {\displaystyle [z-\epsilon ;z+\epsilon ]\subset A,\,\epsilon >0,} Ponieważ z {\displaystyle z} jest kresem górnym zbioru Z , {\displaystyle Z,} więc w przedziale ( z ϵ ; z {\displaystyle (z-\epsilon ;z]} istnieje punkt z 1 Z . {\displaystyle z_{1}\in Z.} Istnieje więc skończona podrodzina σ 1 σ {\displaystyle \sigma _{1}\subset \sigma } pokrywająca przedział 0 ; z 1 . {\displaystyle [0;z_{1}].} A stąd przedział 0 ; z + ϵ 2 = 0 ; z 1 z ϵ ; z + ϵ 2 {\displaystyle [0;z+{\tfrac {\epsilon }{2}}]=[0;z_{1}]\cup [z-\epsilon ;z+{\tfrac {\epsilon }{2}}]} jest pokryty przez skończoną rodzinę σ 1 { A } . {\displaystyle \sigma _{1}\cup \{A\}.} Oznacza to, że z + ϵ 2 Z {\displaystyle z+{\tfrac {\epsilon }{2}}\in Z} i z {\displaystyle z} nie kresem górnym zbioru Z . {\displaystyle Z.} Sprzeczność ta pokazuje, że z = 1. {\displaystyle z=1.} Niech 1 A σ {\displaystyle 1\in A\in \sigma } dla pewnego zbioru otwartego A {\displaystyle A} i rozważmy przedział 1 ϵ ; 1 A , ϵ > 0. {\displaystyle [1-\epsilon ;1]\subset A,\,\epsilon >0.} Podobnie jak wyżej, 1 {\displaystyle 1} jest kresem górnym zbioru Z , {\displaystyle Z,} więc w przedziale ( 1 ϵ ; 1 {\displaystyle (1-\epsilon ;1]} istnieje punkt z 1 Z . {\displaystyle z_{1}\in Z.} Istnieje więc skończona podrodzina σ 1 σ {\displaystyle \sigma _{1}\subset \sigma } pokrywająca przedział 0 ; z 1 . {\displaystyle [0;z_{1}].} A stąd przedział 0 ; 1 = 0 ; z 1 1 ϵ ; 1 {\displaystyle [0;1]=[0;z_{1}]\cup [1-\epsilon ;1]} jest pokryty przez skończoną rodzinę σ 1 { A } , {\displaystyle \sigma _{1}\cup \{A\},} cnd.

Własności | edytuj kod

Tw. 4. Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią zwartą, a f : X Y {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y} odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że obraz f ( X ) {\displaystyle f(X)} jest zwarty. W tym celu weźmy dowolne otwarte pokrycie { V λ } λ Λ {\displaystyle \{V_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} zbioru f ( X ) . {\displaystyle f(X).} Wtedy V = { f 1 ( V λ ) } λ Λ {\displaystyle {\mathcal {V}}=\{f^{-1}(V_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }} jest otwartym pokryciem X . {\displaystyle X.} Istotnie, otwartość elementów rodziny V {\displaystyle {\mathcal {V}}} od razu wynika z ciągłości f . {\displaystyle f.} Ponadto dla dowolnego x X {\displaystyle x\in X} istnieje zbiór V λ , {\displaystyle V_{\lambda '},} taki że f ( x ) V λ . {\displaystyle f(x)\in V_{\lambda '}.} Dlatego też x f 1 ( V λ ) . {\displaystyle x\in f^{-1}(V_{\lambda '}).} Na mocy zwartości X {\displaystyle X} istnieje skończona rodzina zbiorów { f 1 ( V λ 1 ) , f 1 ( V λ 2 ) , , f 1 ( V λ n ) } {\displaystyle \{f^{-1}(V_{\lambda _{1}}),f^{-1}(V_{\lambda _{2}}),\dots ,f^{-1}(V_{\lambda _{n}})\}} będąca pokryciem X . {\displaystyle X.} Zatem rodzina { V λ 1 , V λ 2 , , V λ n } {\displaystyle \{V_{\lambda _{1}},V_{\lambda _{2}},\dots ,V_{\lambda _{n}}\}} jest otwartym, skończonym pokryciem f ( X ) . {\displaystyle f(X).} Oznacza to, że z dowolnego otwartego pokrycia f ( X ) {\displaystyle f(X)} można wybrać skończone podpokrycie, co oznacza, że zbiór f ( X ) {\displaystyle f(X)} jest zwarty, cnd.

Tw. 5. (Twierdzenie Weierstrassa)

Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w R {\displaystyle \mathbb {R} } jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy.

Dowód: Niech f : X R {\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} } będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej X . {\displaystyle X.} Wówczas f ( X ) {\displaystyle f(X)} jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy Tw. Heinego-Borela f ( X ) {\displaystyle f(X)} jest domknięty i ograniczony. Ograniczoność f ( X ) {\displaystyle f(X)} oznacza, że f {\displaystyle f} jest ograniczona. Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości f ( X ) {\displaystyle f(X)} wynika że inf f ( X ) f ( X ) {\displaystyle \inf f(X)\in f(X)} oraz sup f ( X ) f ( X ) . {\displaystyle \sup f(X)\in f(X).} Zatem f {\displaystyle f} przyjmuje swoje kresy, cnd.

Tw. 6. (Twierdzenie Tichonowa)

(a) Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową) jest zwarty.

(b) Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód: Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią Hausdorffa, a A X {\displaystyle A\subset X} jej zwartym podzbiorem. Aby udowodnić, że A {\displaystyle A} jest domknięty uzasadnimy, że X A {\displaystyle X\setminus A} jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego x X A {\displaystyle x\in X\setminus A} istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru A . {\displaystyle A.}
Niech x X A , {\displaystyle x\in X\setminus A,} y A . {\displaystyle y\in A.} Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieją otoczenie V y {\displaystyle V_{y}} punktu x {\displaystyle x} oraz otoczenie U y {\displaystyle U_{y}} punktu y {\displaystyle y} takie że V y U y = . {\displaystyle V_{y}\cap U_{y}=\emptyset .}
Rodzina { U y } y A {\displaystyle \{U_{y}\}_{y\in A}} stanowi otwarte pokrycie A . {\displaystyle A.} Na mocy zwartości A {\displaystyle A} istnieje skończone podpokrycie { U y 1 , U y 2 , , U y n } . {\displaystyle \{U_{y_{1}},U_{y_{2}},\dots ,U_{y_{n}}\}.} Każdy zbiór U y i {\displaystyle U_{y_{i}}} jest rozłączny z odpowiednim zbiorem V y i . {\displaystyle V_{y_{i}}.} Zatem przekrój V = i = 1 n V i {\displaystyle V=\bigcap _{i=1}^{n}V_{i}} jest rozłączny z każdym ze zbiorów U y i . {\displaystyle U_{y_{i}}.} Więc V {\displaystyle V} jest otoczeniem x , {\displaystyle x,} które jest rozłączne z A . {\displaystyle A.} Z dowolności x {\displaystyle x} wynika, że zbiór A {\displaystyle A} jest domknięty, cnd.

Tw. 7. Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni X {\displaystyle X} na przestrzeń Hausdorffa Y {\displaystyle Y} jest homeomorfizmem.

Dowód: Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte. Niech A X {\displaystyle A\subset X} będzie domknięty i niech f : X Y {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y} będzie ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni X {\displaystyle X} w przestrzeń Hausdorffa Y . {\displaystyle Y.} Wówczas A {\displaystyle A} jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd f ( A ) {\displaystyle f(A)} jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc f ( A ) {\displaystyle f(A)} jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa, cnd.

Tw. 8. Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech A X {\displaystyle A\subset X} będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni zwartej X . {\displaystyle X.} Weźmy dowolne otwarte pokrycie { U i } i I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} zbioru A . {\displaystyle A.} Ponieważ A {\displaystyle A} jest domknięty, to jego dopełnienie jest otwarte i razem z { U i } i I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} stanowi otwarte pokrycie przestrzeni X . {\displaystyle X.} Ponieważ przestrzeń X {\displaystyle X} jest zwarta, więc z jej pokrycia { U i } i I { X A } {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}\cup \{X\setminus A\}} możemy wybrać skończone podpokrycie D {\displaystyle {\mathcal {D}}} przestrzeni X . {\displaystyle X.} Ale A X , {\displaystyle A\subset X,} więc D {\displaystyle {\mathcal {D}}} jest zarazem pokryciem zbioru A . {\displaystyle A.} Zatem A {\displaystyle A} jest zwarty, cnd.

Tw. 9. Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

Zwartość w przestrzeniach metrycznych | edytuj kod

Przedział A = ( , 2 {\displaystyle A=(-\infty ,-2]} nie jest zwarty, bo nie jest ograniczony. Przedział C = ( 2 , 4 ) {\displaystyle C=(2,4)} nie jest zwarty, bo nie jest domknięty. Przedział B = 0 , 1 {\displaystyle B=[0,1]} jest zwarty, bo jest domknięty i ograniczony.

Tw. 10. Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią metryczną. Następujące warunki są równoważne:

  • przestrzeń X {\displaystyle X} jest zwarta,
  • każdy ciąg ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} w tej przestrzeni zawiera podciąg ( x n k ) {\displaystyle (x_{n_{k}})} zbieżny do punktu należącego do tej przestrzeni (tzn. X {\displaystyle X} jest ciągowo zwarta),
  • z każdego przeliczalnego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, tzn. X {\displaystyle X} jest przeliczalnie zwarta,
  • dla każdej funkcji ciągłej f : X R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } obraz f ( X ) {\displaystyle f(X)} jest ograniczony, tzn. X {\displaystyle X} jest pseudozwarta.

Tw. 11. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Dowód: Niech A {\displaystyle A} będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej ( X , d ) . {\displaystyle (X,d).}
Należy udowodnić, że diam ( A ) = sup { d ( x , y ) : x , y A } < . {\displaystyle \operatorname {diam} (A)=\sup\{d(x,y)\colon x,y\in A\}<\infty .}
Wykorzystamy fakt, że metryka d : X × X R {\displaystyle d\colon X\times X\rightarrow \mathbb {R} } jest ciągła. Obcięcie f = d | A {\displaystyle f=d|_{A}} jest ciągłe. Na mocy tw. Weierstrassa funkcja f {\displaystyle f} jest ograniczona. Zatem sup { f ( x , y ) : x , y A } < . {\displaystyle \sup\{f(x,y):x,y\in A\}<\infty .} Czyli diam ( A ) < . {\displaystyle \operatorname {diam} (A)<\infty .} Wykazaliśmy, że zbiór A {\displaystyle A} jest ograniczony, cnd.

(twierdzenie Heinego-Borela) Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Tw. 12. Dowolna przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny.

Przykłady | edytuj kod

Stosując powyższe twierdzenia, można łatwo stwierdzić, które poniższe przestrzenie są zwarte, a które nie:

  • zwarty jest odcinek 0 , 1 R , {\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} ,} bo jest domknięty i ograniczony,
  • odcinek ( 0 , 1 ) R {\displaystyle (0,1)\subset \mathbb {R} } nie jest zwarty, bo nie jest domknięty,
  • zwarta nie jest również cała prosta liczbowa R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} bo jest zbiorem nieograniczonym,
  • zwarty jest zbiór Cantora.

Pseudozwartość | edytuj kod

Przestrzeń topologiczną nazywamy pseudozwartą jeśli jest przestrzenią Tichonowa i każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych jest ograniczona[3]. Każda przestrzeń zwarta jest pseudozwarta, jednak istnieją przestrzenie pseudozwarte, które nie są zwarte. Na przykład liczba porządkowa ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} z topologią porządkową jest pseudozwarta, ale nie jest zwarta.

Zwartość a ciągowa zwartość | edytuj kod

 Osobny artykuł: Przestrzeń ciągowo zwarta.

Przestrzeń topologiczną X {\displaystyle X} nazywamy ciągowo zwartą jeśli każdy ciąg ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} w tej przestrzeni zawiera podciąg ( x n k ) {\displaystyle (x_{n_{k}})} zbieżny, tzn. istnieje element x X {\displaystyle x\in X} taki, że każde otwarte otoczenie U {\displaystyle U} punktu x {\displaystyle x} zawiera wszystkie elementy ciągu ( x n k ) {\displaystyle (x_{n_{k}})} poza co najwyżej skończoną ich liczbą[4]. W klasie przestrzeni metryzowalnych pojęcia zwartości i ciągowej zwartości pokrywają się. Istnieją jednak przestrzenie zwarte, które nie są ciągowo zwarte oraz przestrzenie ciągowo zwarte, które nie są zwarte (na przykład, liczba porządkowa ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} z topologią porządkową).

Pojęcia pokrewne | edytuj kod

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Engelking 1989 ↓, s. 149.
  2. Engelking 1989 ↓, s. 159.
  3. Engelking 1989 ↓, s. 240.
  4. Engelking 1989 ↓, s. 243.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Przestrzeń zwarta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy