Przybliżenie Padé


Przybliżenie Padégo w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Przybliżenie Padé) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Przybliżenia Padégo funkcji tangens Przybliżenia Padégo funkcji wykładniczej

Przybliżenie Padégo – metoda aproksymacji funkcji za pomocą funkcji wymiernych danego rzędu. Często daje lepszy wynik niż szereg Taylora dla tej samej liczby współczynników, kiedy funkcja posiada bieguny.

Jej odkrywcą jest Henri Padé.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Dla danej funkcji f i dwóch liczb naturalnych m, n ∈ N0, przybliżeniem Padégo rzędu (m, n) jest funkcja wymierna

R m , n ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a m x m 1 + b 1 x + b 2 x 2 + + b n x n , {\displaystyle R_{m,n}(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}}},}

której pochodne równają się pochodnym f(x) do najwyższego możliwego rzędu

f ( 0 ) = R ( 0 ) {\displaystyle f(0)=R(0)} f ( 0 ) = R ( 0 ) {\displaystyle f'(0)=R'(0)} f ( 0 ) = R ( 0 ) {\displaystyle f''(0)=R''(0)} {\displaystyle \vdots } f ( m + n ) ( 0 ) = R ( m + n ) ( 0 ) . {\displaystyle f^{(m+n)}(0)=R^{(m+n)}(0).}

Ściślej i ogólniej funkcja wymierna ρ {\displaystyle \rho } jest przybliżeniem Padégo rzędu ( k , n k ) {\displaystyle (k,n-k)} formalnego szeregu potęgowego g {\displaystyle g} nad ciałem F , {\displaystyle F,} jeżeli[1]:

g = i N 0 g i x i F x {\displaystyle g=\sum _{i\in \mathbb {N} _{0}}g_{i}x^{i}\in F[[x]]} ( g i F ) {\displaystyle (g_{i}\in F)} ρ = r t {\displaystyle \rho ={\frac {r}{t}}} r , t F x {\displaystyle r,t\in F[x]} x t {\displaystyle x\nmid t} r t g mod x n {\displaystyle {\frac {r}{t}}\equiv g\mod x^{n}} (równoważnie r t g mod x n {\displaystyle r\equiv tg\mod x^{n}} ) deg r < k {\displaystyle \deg r<k} deg r n k {\displaystyle \deg r\leqslant n-k}

Obliczanie | edytuj kod

Jeżeli rozwinięcie funkcji f(x) w szereg Taylora ma postać

f ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + {\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots }

to współczynniki w przybliżeniu Padégo spełniają układ równań

a i = j = 0 i b j c i j {\displaystyle a_{i}=\sum _{j=0}^{i}b_{j}\cdot c_{i-j}} dla i = 0, 1, ..., m+n

Przy czym przyjmuje się, że

b0 = 1 ai = 0 dla i > m bi = 0 dla i > n

Przykład | edytuj kod

Należy wyliczyć wielomian R 2 , 1 ( x ) {\displaystyle R_{2,1}(x)} przybliżający e x {\displaystyle e^{x}} w punkcie 0. Mamy m=2, n=1, m+n=3. Z szeregu Taylora, który dla punktu 0 staje się szeregiem Maclaurina mamy

c 0 = 1 , c 1 = 1 , c 2 = 1 2 , c 3 = 1 6 {\displaystyle c_{0}=1,c_{1}=1,c_{2}={\frac {1}{2}},c_{3}={\frac {1}{6}}} ogólnie dla e x {\displaystyle e^{x}} c n = 1 n ! {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n!}}}

Układamy układ równań:

pierwsza część 1 b 0 = a 0 {\displaystyle 1*b_{0}=a_{0}} 1 b 0 + 1 b 1 = a 1 {\displaystyle 1*b_{0}+1*b_{1}=a_{1}} 1 / 2 b 0 + 1 b 1 = a 2 {\displaystyle 1/2b_{0}+1b_{1}=a_{2}} druga część 1 / 6 b 0 + 1 / 2 b 1 = 0 {\displaystyle 1/6b_{0}+1/2b_{1}=0} oraz b 0 = 1 {\displaystyle b_{0}=1}

Wpisujemy do macierzy najpierw pierwsze m niewiadomych, a potem drugie n, otrzymując macierz: 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 / 2 1 0 0 0 1 / 6 1 / 2 0 0 0 1 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0&1&0\\0&-1&0&1&1\\0&0&-1&1/2&1\\0&0&0&1/6&1/2\\0&0&0&1&0\end{bmatrix}}}

oraz wektor wyrazów wolnych składający się z samych zer z wyjątkiem ostatniej jedynki. Następnie wyliczamy posługując się na przykład metodą eliminacji Gaussa, otrzymujemy 1 2 / 3 1 / 6 1 1 / 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2/3&1/6&1&-1/3\end{bmatrix}}} co daje 1 + 2 / 3 x + 1 / 6 x 2 1 1 / 3 x {\displaystyle {\frac {1+2/3x+1/6x^{2}}{1-1/3x}}}

co jest zgodne z przykładami Wolframu[2] z dokładnością do mnożnika licznika i mianownika.

Wypełnianie macierzy | edytuj kod

Niech N=m+n+2 będzie rozmiarem macierzy A z normalnym indeksem liczonym od 1 do N.

Czyścimy macierz inicjując ją zerami; for (int i = 0; i <= m; i++) { for (int j = 0; j <= i; j++) { if (j<=n) A[i+1, m+j+2] = c[i - j]; } A[i+1, i+1] = -1; } for (int i = 0; i<= n - 1; i++) for (int j = 0; j <= n; j++) A[m + i + 2, m + j + 2] = c[m + n - i - j];  ; końcowe b0 = 1 A[m + n + 2, m + 2] = 1; 

Przypisy | edytuj kod

  1. Joachim von zur Gathen, Jürgen Gerhard: Modern computer algebra.
  2. Wolfram ↓.

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Przybliżenie Padé" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy