Różnica zbiorów


Różnica zbiorów w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Różnica zbiorów A   B {\displaystyle A\ B} zbiór złożony z tych elementów zbioru A , {\displaystyle A,} które nie należą do B . {\displaystyle B.}

Spis treści

Definicje | edytuj kod

Różnica zbiorów B {\displaystyle B} i A {\displaystyle A} oznaczona kolorem fioletowym.

Do różnicy zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} należą te i tylko te elementy zbioru A , {\displaystyle A,} które nie należą do zbioru B {\displaystyle B} [1][2][3]:

x ( A B ) ( x A ) ( x B ) {\displaystyle x\in (A\setminus B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\notin B)} [1],

co jest równoważne

A B = { x Ω : x A x B } {\displaystyle A\setminus B=\{x\in \Omega \;:\;x\in A\land x\notin B\}} [4] = { x A : x B } {\displaystyle {}=\{x\in A\;:\;x\notin B\}} [5],

gdzie Ω {\displaystyle \Omega } jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[6][7] lub uniwersum[8].

Różnica zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} jest zazwyczaj oznaczana przez A B {\displaystyle A\setminus B} [4][5], niekiedy także przez A B {\displaystyle A-B} [1][2][3].

Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru. Za pomocą różnicy można zdefiniować także iloczyn (część wspólną) zbiorów:

A B = A ( A B ) {\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)} [9].

Przykłady | edytuj kod

  • Niech Q {\displaystyle \mathbb {Q} } będzie zbiorem liczb wymiernych a R {\displaystyle \mathbb {R} } niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Wówczas R Q {\displaystyle {\mathbb {R} }\setminus {\mathbb {Q} }} jest zbiorem liczb niewymiernych[1] I Q : {\displaystyle {\mathbb {I} }{\mathbb {Q} }{:}}
R Q = I Q . {\displaystyle {\mathbb {R} }\setminus {\mathbb {Q} }={\mathbb {I} }{\mathbb {Q} }.}
  • Jeżeli A = { a , b , c } , {\displaystyle A=\{a,b,c\},} a B = { b , c , d } , {\displaystyle B=\{b,c,d\},} to A B = { a } . {\displaystyle A\setminus B=\{a\}.}

Własności | edytuj kod

A {\displaystyle A} jest podzbiorem B {\displaystyle B} (czyli zbiór A {\displaystyle A} zawiera się w B {\displaystyle B} ) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica A   B {\displaystyle A\ B} jest zbiorem pustym:

A B A B = . {\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\setminus B=\varnothing .}

W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności[10], która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:

  • Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:
X i A i = i ( X A i ) . {\displaystyle X\setminus {\bigcup \limits _{i}}A_{i}=\bigcap \limits _{i}(X\setminus A_{i}).}
  • Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:
X i A i = i ( X A i ) . {\displaystyle X\setminus {\bigcap \limits _{i}}A_{i}=\bigcup \limits _{i}(X\setminus A_{i}).}

Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru X {\displaystyle X} można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy – iloczynami, a iloczyny – sumami.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 18.
  2. a b Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 6.
  3. a b Kuratowski 1980 ↓, s. 19.
  4. a b Leitner 1999 ↓, s. 39.
  5. a b Ross i Wright 1996 ↓, s. 25.
  6. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 18.
  7. Rasiowa 1975 ↓, s. 21.
  8. Ross i Wright 1996 ↓, s. 27.
  9. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 7.
  10. Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 20.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Różnica zbiorów" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy