Równanie Langevina


Równanie Langevina w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie Langevinastochastyczne równanie różniczkowe bazujące na równaniu Newtona. Zaproponowane zostało po raz pierwszy w 1906 roku przez Paula Langevina do opisu ruchów Browna.

Jego najprostsza postać to

m d 2 x ( t ) d t 2 = γ d x d t + F ( x , t ) + Γ ( t ) , {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {x} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\gamma {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}+F(x,t)+\Gamma (t),}

gdzie x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)} jest trajektorią śledzonej cząstki, m {\displaystyle m} to masa cząstki, γ {\displaystyle \gamma } jest współczynnikiem tarcia, F ( x , t ) {\displaystyle F(x,t)} oznacza deterministyczną zewnętrzną siłę mogącą działać w układzie. Γ ( t ) {\displaystyle \Gamma (t)} jest losową składową siły, powstałą na skutek przypadkowych zderzeń śledzonej cząstki z cząstkami otaczającego środowiska. W klasycznym przypadku przyjmuje się, że Γ ( t ) {\displaystyle \Gamma (t)} ma postać białego szumu.

Wiele ciekawych wyników można otrzymać bez konieczności rozwiązywania powyższego równania, opierając się na twierdzeniu fluktuacyjno-dysypacyjnym. Wartości średnie (np: prędkości) można otrzymać rozwiązując odpowiednie równanie Fokkera-Plancka opisujące ewolucję czasową gęstości prawdopodobieństwa.

Często stosowaną metodą wyznaczenia średnich, gdy nieznane są metody analityczne, jest numeryczna symulacja równania (czasami nazywane symulacjami Monte-Carlo).

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Równanie Langevina" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy