Równanie charakterystyczne


Równanie charakterystyczne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie charakterystyczne – termin używany w analizie matematycznej i w teorii sterowania.

Niech dane jest równanie różniczkowe liniowe rzędu n {\displaystyle n} -tego:

a n x ( n ) + a ( n 1 ) x ( n 1 ) + . . . + a 1 x ( 1 ) + a 0 x = 0 , {\displaystyle a_{n}x^{(n)}+a_{(n-1)}x^{(n-1)}+...+a_{1}x^{(1)}+a_{0}x=0,}

w którym x ( n ) {\displaystyle x^{(n)}} oznacza n {\displaystyle n} -tą pochodną funkcji x ( t ) {\displaystyle x(t)} po zmiennej t . {\displaystyle t.} Jeśli poszukuje się rozwiązania tego równania w postaci e r t , {\displaystyle e^{rt},} to podstawiając to rozwiązanie do powyższego równania, otrzymuje się równanie ze współczynnikiem r : {\displaystyle r{:}}

a n r n + a n 1 r n 1 + + a 1 r + a 0 = 0 , {\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{1}r+a_{0}=0,}

które nazywane jest równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Natomiast wielomian

W ( r ) = a n r n + a n 1 r n 1 + + a 1 r + a 0 {\displaystyle W(r)=a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{1}r+a_{0}}

nazywa się wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego. Rozwiązując równanie charakterystyczne otrzymuje się możliwe, różne rozwiązania szczególne dla odpowiedniego równania różniczkowego.

Podobnie w teorii sterowania, gdzie rozważania prowadzi się na płaszczyźnie S, równaniem charakterystycznym nazywa się równanie algebraiczne powstające z przyrównania mianownika transmitancji operatorowej do zera. Jeśli transmitancję układu określimy wzorem:

G ( s ) = b n s m + + b 1 s + b 0 s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a 0 , {\displaystyle G(s)={\frac {b_{n}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},}

to równanie charakterystyczne[1]układu, określonego tą transmitancją, będzie miało postać:

s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a 0 = 0. {\displaystyle s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}=0.}

Przypisy | edytuj kod

  1. Andrzej Markowski: Automatyka w pytaniach i odpowiedziach. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1979, s. 30–31. ISBN 83-204-0110-0.
Na podstawie artykułu: "Równanie charakterystyczne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy