Równanie ciągłości


Równanie ciągłości w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie ciągłości – matematyczny zapis w postaci równania opisujący zmianę rozkładu wielkości fizycznej w ośrodku ciągłym. Szczególnie prostą formę przyjmuje dla wielkości spełniającej prawo zachowania. Np. wyraża zasadę zachowania ładunku, zasadę zachowania masy, a nawet zasadę zachowania prawdopodobieństwa.

Istotne jest, że równanie ciągłości wyraża lokalną zasadę zachowania, tzn. jeśli w infinitezymalnym obszarze maleje dana substancja (ładunek, masa, prawdopodobieństwo), to substancja ta nie pojawia się w miejscu dowolnie odległym od tego obszaru, ale wypływa (w postaci prądu) przez powierzchnię, otaczającą ten obszar.

Spis treści

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej | edytuj kod

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej dla wielkości zachowawczej ma postać

j = ϱ t , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \varrho }{\partial t}},}

czyli

j x x + j y y + j z z = ϱ t , {\displaystyle {\frac {\partial j_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial j_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial j_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\partial \varrho }{\partial t}},}

tzn. dywergencja gęstości prądu j = ( j x , j y , j z ) {\displaystyle \mathbf {j} =(j_{x},j_{y},j_{z})} danej substancji jest równa prędkości zmniejszania się gęstości ρ {\displaystyle \rho } tej substancji.

Np.

j {\displaystyle \mathbf {j} } gęstość prądu elektrycznego, ρ {\displaystyle \rho } gęstości ładunku elektrycznego.

Pojęcia gęstość prądu substancji oraz gęstość substancji są definiowane analogicznie do gęstości prądu elektrycznego oraz gęstości ładunku elektrycznego.

Poglądowe objaśnienie równania ciągłości | edytuj kod

Jeżeli w powyższym wzorze zamiast pochodnych wstawi się ilorazy różnicowe

Δ j x Δ x + Δ j y Δ y + Δ j z Δ z = Δ ϱ Δ t , {\displaystyle {\frac {\Delta j_{x}}{\Delta x}}+{\frac {\Delta j_{y}}{\Delta y}}+{\frac {\Delta j_{z}}{\Delta z}}=-{\frac {\Delta \varrho }{\Delta t}},}

to można poglądowo wytłumaczyć sens równania ciągłości: Jeśli z danego obszaru więcej prądu wypływa niż do niego wpływa, czyli np.

Δ j x = j x + Δ x j x > 0 , {\displaystyle \Delta j_{x}=j_{x+\Delta x}-j_{x}>0,}

to różnica między gęstością ładunku w tym obszarze w chwili późniejszej i wcześniejszej jest ujemna

Δ ρ = ρ t + Δ t ρ t < 0 , {\displaystyle \Delta \rho =\rho _{t+\Delta t}-\rho _{t}<0,}

co oznacza, że gęstość ładunku maleje w tym obszarze.

Równania ciągłości relatywistyczne | edytuj kod

Postać relatywistyczna równania ciągłości | edytuj kod

Oznaczając współrzędne czterowektora położenia

x 0 = c t , x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z {\displaystyle x^{0}=ct,\,\,x^{1}=x,\,\,x^{2}=y,\,\,x^{3}=z}

oraz stosując definicję czterowektora gęstości prądu elektrycznego (lub czterowektora gęstości prądu dowolnej innej substancji), tj. przyjmując

j 0 = c ρ , j 1 = j x , j 2 = j y , j 3 = j z {\displaystyle j^{0}=c\rho ,\;j^{1}=j_{x},\;j^{2}=j_{y},\;j^{3}=j_{z}}

z wcześniejszej wersji równania ciągłości otrzyma się

j 0 x 0 + j 1 x 1 + j 2 x 2 + j 3 x 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial j^{0}}{\partial x^{0}}}+{\frac {\partial j^{1}}{\partial x^{1}}}+{\frac {\partial j^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial j^{3}}{\partial x^{3}}}=0}

lub, po zastosowaniu konwencji sumacyjnej Einsteina

j μ x μ = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial j^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0,}

gdzie μ = 0 , 1 , 2 , 3. {\displaystyle \mu =0,1,2,3.}

Zasada lokalnego zachowania substancji wyrażona poprzez równanie ciągłości oznacza więc, że:

Jeżeli dana substancja jest zachowana lokalnie, to czterodywergencja prądu j μ x μ {\displaystyle {\frac {\partial j^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}} tej substancji zeruje się.

Znaczenie postaci relatywistycznej | edytuj kod

Znaczenie zapisania równania ciągłości w postaci relatywistycznie niezmienniczej, tj. za pomocą 4-wektora prądu oraz 4-dywergencji jest następujące:

Jeżeli dana substancja spełnia równanie ciągłości według jakiegoś obserwatora, to będzie spełniać to równanie według dowolnego obserwatora, poruszającego się względem niego.

Tzn. obserwator ten sformułuje równanie ciągłości w analogicznej postaci

j μ x μ = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial j^{'\mu }}{\partial x^{'\mu }}}=0,}

gdzie:

j μ {\displaystyle j^{'\mu }} – 4-prąd, mierzony przez tego obserwatora, x μ {\displaystyle x^{'\mu }} – 4-wektor położenia w układzie tego obserwatora.

Przykład: Zasada zachowania masy | edytuj kod

W dynamice płynów lokalną zasadę zachowania masy wyraża wzór

ϱ t + ( ϱ u ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial \varrho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varrho \mathbf {u} )=0,}

gdzie:

ϱ {\displaystyle \varrho } – gęstość płynu, u {\displaystyle \mathbf {u} } – prędkość płynu, t {\displaystyle t} – czas,

przy czym

j = ϱ u {\displaystyle \mathbf {j} =\varrho \mathbf {u} }

– gęstość prądu masy.

Równanie ciągłości w postaci całkowej | edytuj kod

Równanie ciągłości może być również zapisane w postaci całkowej

V j d V = d d t V ρ d V . {\displaystyle \int _{V}\!\!\!\nabla \cdot \mathbf {j} \,dV=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho dV.}

Bibliografia | edytuj kod

  • David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa 2006.
Na podstawie artykułu: "Równanie ciągłości" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy