Równanie falowe


Równanie falowe w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie falowe – matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:

{ 2 t 2 u c 2 x u = 0 , u : R n × R + R , x R n , t R + u ( x , 0 ) = f ( x ) , f : R n R t u ( x , 0 ) = g ( x ) , g : R n R {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \end{cases}}}

gdzie R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych.

W równaniu funkcja u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie x {\displaystyle x} w chwili t . {\displaystyle t.} Zadane są początkowe położenie fali f {\displaystyle f} oraz początkowy impuls g . {\displaystyle g.} Fizycznie stała c {\displaystyle c} oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. prędkość fali dźwiękowej to 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol x {\displaystyle \triangle _{x}} to Laplasjan.

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d’Alemberta:

u ( x , t ) = 0. {\displaystyle \square u(x,t)=0.}

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki n = 1 , 2 , 3. {\displaystyle n=1,2,3.}

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie’a:

e i ( E t r p ) / . {\displaystyle e^{i(Et-{\vec {r}}\circ {\vec {p}})/\hbar }.}

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Spis treści

Rozwiązania równania falowego | edytuj kod

Równanie struny i wzór d’Alemberta | edytuj kod

Jednowymiarowe ( n = 1 ) {\displaystyle (n=1)} równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:

{ 2 t 2 u c 2 x u = 0 , u : R × R + R u ( x , 0 ) = f ( x ) , f : R R t u ( x , 0 ) = g ( x ) , g : R R {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \end{cases}}}

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

u ( x , t ) = α ( x c t ) + β ( x + c t ) , {\displaystyle u(x,t)=\alpha (x-ct)+\beta (x+ct),}

gdzie α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } są dowolnie wybrane.

Przy założeniu regularności f C 2 ( R ) , g C 1 ( R ) {\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ),g\in C^{1}(\mathbb {R} )} oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

u ( x , t ) = f ( x + c t ) + f ( x c t ) 2 + 1 2 c x c t x + c t g ( z ) d z . {\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)dz}.}

Jest to wzór d’Alemberta. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Równanie struny półnieskończonej | edytuj kod

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

u ( 0 , t ) = 0 {\displaystyle u(0,t)=0} dla dowolnego t R . {\displaystyle t\in \mathbb {R} .}

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

{ u ( x , t ) = f ( x + c t ) + f ( x c t ) 2 + 1 2 c x c t x + c t g ( z ) d z , x c t u ( x , t ) = f ( x + c t ) f ( c t x ) 2 + 1 2 c c t x c t + x g ( z ) d z , x < c t {\displaystyle {\begin{cases}u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)dz},&x\geqslant {}ct\\[2pt]u(x,t)={\frac {f(x+ct)-f(ct-x)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{ct-x}^{ct+x}{g(z)dz},&x<ct\end{cases}}}

Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór Kirchhoffa | edytuj kod

Równanie falowe dla n = 3 {\displaystyle n=3} ma postać

{ 2 t 2 u c 2 x u = 0 , u : R 3 × R + R u ( x , 0 ) = f ( x ) , f : R 3 R t u ( x , 0 ) = g ( x ) , g : R 3 R {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \end{cases}}}

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności f C 3 ( R 3 ) , g C 2 ( R 3 ) {\displaystyle f\in {}C^{3}(\mathbb {R} ^{3}),g\in {}C^{2}(\mathbb {R} ^{3})} rozwiązaniem jest:

4 π c 2 u ( x , t ) = t ( 1 t S 2 ( x , c t ) f ( z ) d σ ( z ) ) + 1 t S 2 ( x , c t ) g ( z ) d σ ( z ) . {\displaystyle 4\pi {}c^{2}{}\cdot {}u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{t}}\int \limits _{S^{2}(x,ct)}{f(z)d\sigma (z)}\right)+{\frac {1}{t}}\int \limits _{S^{2}(x,ct)}{g(z)d\sigma (z)}.}

Jest to wzór Kirchhoffa.

Równanie falowe w wymiarze 2 i wzór Poissona | edytuj kod

Równanie falowe dla n = 2 {\displaystyle n=2} można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności f C 3 ( R 3 ) , g C 2 ( R 3 ) {\displaystyle f\in {}C^{3}(\mathbb {R} ^{3}),g\in {}C^{2}(\mathbb {R} ^{3})} rozwiązaniem jest:

2 π c u ( x , t ) = t ( D ( x , c t ) f ( z ) d σ ( z ) c 2 t 2 | z x | 2 ) + D ( x , c t ) g ( z ) d σ ( z ) c 2 t 2 | z x | 2 . {\displaystyle 2\pi {}c\cdot u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int \limits _{D(x,ct)}{\frac {f(z)d\sigma (z)}{\sqrt {c^{2}{}t^{2}-|z-x|^{2}}}}\right)+\int \limits _{D(x,ct)}{\frac {g(z)d\sigma (z)}{\sqrt {c^{2}t^{2}-|z-x|^{2}}}}.}

Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3 | edytuj kod

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:

{ 2 t 2 u c 2 x u = h ( x , t ) , u : R n × R + R , x R n , t R + u ( x , 0 ) = 0 , t u ( x , 0 ) = 0 , {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=h(x,t),&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=0,\\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=0,\end{cases}}}

Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest:

4 π c 2 u ( x , t ) = 0 c t d r S 2 ( x , r ) h ( z , t r c ) d σ ( z ) . {\displaystyle 4\pi {}c^{2}u(x,t)=\int \limits _{0}^{ct}{dr\int \limits _{S^{2}(x,r)}{h\left(z,t-{\frac {r}{c}}\right)}d\sigma (z)}.}

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku | z x | = c t . {\displaystyle |z-x|=ct.}

Zasada Huygensa | edytuj kod

Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie n = 3 {\displaystyle n=3} oraz n = 2. {\displaystyle n=2.}

Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki K R n . {\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}

Niech n = 3. {\displaystyle n=3.} Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że u ( x , t ) 0 {\displaystyle u(x,t)\neq {}0} tylko w pewnym skończonym czasie t t 1 , t 2 . {\displaystyle t\in {}[t_{1},t_{2}].} Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.

Inaczej dzieje się dla n = 2. {\displaystyle n=2.} Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak 1 t . {\displaystyle {\frac {1}{t}}.}

Radiacyjna strzałka czasu | edytuj kod

Równanie falowe opisuje fale zarówno wychodzące ze źródła (opóźnione), jak i wchodzące do źródła (przyspieszone). Mimo to obserwuje się tylko te pierwsze. Tę asymetrię nazywa się radiacyjną strzałką czasu. Najbardziej fundamentalną teorią, w której występuje równanie falowe i ten efekt, jest elektrodynamika klasyczna. Z tego względu mówi się też o elektromagnetycznej strzałce czasu[1].

Przypisy | edytuj kod

  1. Heller i Pabjan 2014 ↓, s. 72.

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Równanie falowe" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy