Równanie liniowe


Równanie liniowe w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie liniowerównanie algebraiczne stopnia pierwszego.

Poniższe równania są liniowe:

  • 2 x 3 y + 1 = 3 {\displaystyle 2x-3y+1=3}
  • x + 2 y + 1 = 2 x {\displaystyle x+2y+1=2x}
  • 4 x 3 = x + 1 {\displaystyle -4x-3=x+1}
  • 6 x + y z + 1 = 3 x + z {\displaystyle 6x+y-z+1=3x+z}

Poniższe równania nie są liniowe:

  • 2 x x = 3 {\displaystyle 2^{x}-x=3}
  • x 2 x 1 = 2 x {\displaystyle x^{2}-x-1=2x}
  • sin x 2 x 1 = 2 {\displaystyle \sin x-2x-1=2}
  • | x | 1 = 0 {\displaystyle |x|-1=0}
  • 2 x 3 y 2 + 1 = 3 {\displaystyle 2x-3y^{2}+1=3}

Można też mówić o równaniu liniowym ze względu na wybrane niewiadome – oznacza to, że niewiadome te występują w równaniu w potędze 1. Na przykład równanie 2 x 3 y 2 + 1 = 3 {\displaystyle 2x-3y^{2}+1=3} jest liniowe ze względu na x , {\displaystyle x,} lecz nie jest liniowe ze względu na y . {\displaystyle y.}

Dowolne równanie liniowe o jednej niewiadomej daje się zapisać w postaci:

a x = b , {\displaystyle ax=b,}

gdzie x {\displaystyle x} jest niewiadomą, a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} są pewnymi wiadomymi liczbami (lub innymi elementami ciała, w jakim rozpatruje się równanie). Jeśli a 0 , {\displaystyle a\neq 0,} to takie równanie zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek (inaczej mówiąc, jedno rozwiązanie), który można znaleźć za pomocą wzoru x = b / a . {\displaystyle x=b/a.} Jeśli a = b = 0 , {\displaystyle a=b=0,} to wszystkie liczby (elementy ciała) są pierwiastkami tego równania. Jeśli a = 0 , b 0 , {\displaystyle a=0,b\neq 0,} to równanie nie ma żadnego pierwiastka. Należy jednak powiedzieć, że jeżeli a = 0 , {\displaystyle a=0,} to stopień tego równania jest nie pierwszym, a zerowym albo w ogóle nieistniejącym, co nie odpowiada podanej wyżej definicji równania liniowego; jednak często takie równania również są traktowane jako liniowe; zaś przyjmując powyższą definicję, można powiedzieć, że równanie liniowe z jedną niewiadomą zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek.

Równanie liniowe, które posiada więcej niż jedną niewiadomą, w typowym przypadku ma nieskończenie wiele rozwiązań i nigdy nie może być oznaczonym (czyli mieć dokładnie jedno rozwiązanie). Jakie przypadki przy jakich warunkach są możliwe, można badać, wychodząc z teorii układów równań liniowych, ponieważ równanie można rozpatrywać jako układ o jednym równaniu.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Równanie liniowe" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy