Równanie parametryczne

Równanie parametryczne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne – równanie, które określa daną wielkość jako funkcję jednej lub kilku zmiennych nazywanych parametrami. Np. w kinematyce często jako parametr przyjmuje się czas t {\displaystyle t} – za jego pomocą opisuje się współrzędne wektora położenia ciała, prędkości, pędu, momentu pędu itp., które w ogólności zależą od czasu.

Równania parametryczne stosuje się też powszechnie do definicji krzywych lub powierzchni: za pomocą równań parametrycznych określa się współrzędne punktów krzywej lub powierzchni. Przy tym krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru. Gdy są dwa parametry, to mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Spis treści

Przykłady dwuwymiarowe | edytuj kod

Parabola | edytuj kod

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

y = x 2 , {\displaystyle y=x^{2},}

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru t {\displaystyle t} w następujący sposób:

x = t {\displaystyle x=t} y = t 2 . {\displaystyle y=t^{2}.}

Okrąg | edytuj kod

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz okrąg o promieniu a : {\displaystyle a{:}}

x = a cos ⁡ ( t ) {\displaystyle x=a\cos(t)} y = a sin ⁡ ( t ) , {\displaystyle y=a\sin(t),}

gdzie t ∈ 0 , 2 π ) . {\displaystyle t\in [0,2\pi ).}

Przykłady trójwymiarowe | edytuj kod

Helisa | edytuj kod

Spirala

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

x = a cos ⁡ ( t ) {\displaystyle x=a\cos(t)} y = a sin ⁡ ( t ) {\displaystyle y=a\sin(t)} z = b t , {\displaystyle z=bt,}

gdzie a > 0 , {\displaystyle a>0,} t ∈ 0 , 2 π ) , {\displaystyle t\in [0,2\pi ),}

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu a , {\displaystyle a,} która wznosi się o 2 π b {\displaystyle 2\pi b} co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) = ( a cos ⁡ ( t ) , a sin ⁡ ( t ) , b t ) . {\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt).}

Powierzchnie parametryczne | edytuj kod

Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany równaniami zależnymi od dwóch parametrów t , u : {\displaystyle t,u{:}}

x = cos ⁡ ( t ) ⋅ R + r cos ⁡ ( u ) {\displaystyle x=\cos(t)\cdot [R+r\cos(u)]} y = sin ⁡ ( t ) ⋅ R + r cos ⁡ ( u ) {\displaystyle y=\sin(t)\cdot [R+r\cos(u)]} z = r ⋅ sin ⁡ ( u ) , {\displaystyle z=r\cdot \sin(u),}

gdzie t ∈ 0 , 2 π ) , {\displaystyle t\in [0,2\pi ),} u ∈ 0 , 2 π ) . {\displaystyle u\in [0,2\pi ).}

Zastosowanie | edytuj kod

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż równania te można różniczkować lub całkować względem parametru.

Np. prędkość jest pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

v ( t ) = r ′ ( t ) = ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) , z ′ ( t ) ) = ( − a sin ⁡ ( t ) , a cos ⁡ ( t ) , b ) , {\displaystyle v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b),}

natomiast przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

a ( t ) = r ″ ( t ) = ( x ″ ( t ) , y ″ ( t ) , z ″ ( t ) ) = ( − a cos ⁡ ( t ) , − a sin ⁡ ( t ) , 0 ) . {\displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0).}

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania | edytuj kod

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej t {\displaystyle t} z równań x = x ( t ) ,   y = y ( t ) . {\displaystyle x=x(t),\ y=y(t).} Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla t , {\displaystyle t,} wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne x {\displaystyle x} oraz y . {\displaystyle y.} Jeśli x ( t ) {\displaystyle x(t)} i y ( t ) {\displaystyle y(t)} są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej t . {\displaystyle t.} Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie[1].

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu a {\displaystyle a}

x = a cos ⁡ ( t ) {\displaystyle x=a\cos(t)} y = a sin ⁡ ( t ) {\displaystyle y=a\sin(t)} a > 0 , {\displaystyle a>0,} t ∈ 0 , 2 π ) . {\displaystyle t\in [0,2\pi ).}

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych x {\displaystyle x} oraz y {\displaystyle y} korzystając z jedynki trygonometrycznej:

x / a = cos ⁡ ( t ) {\displaystyle x/a=\cos(t)} y / a = sin ⁡ ( t ) {\displaystyle y/a=\sin(t)} cos ⁡ ( t ) 2 + sin ⁡ ( t ) 2 = 1 {\displaystyle \cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1} ∴ ( x / a ) 2 + ( y / a ) 2 = 1 , {\displaystyle \therefore (x/a)^{2}+(y/a)^{2}=1,}

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

Przypisy | edytuj kod

  1. ↑ Konwersja z równań parametrycznych do postaci pojedynczego równania (ang.). [dostęp 2010-09-16].
Na podstawie artykułu: "Równanie parametryczne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy