Równanie różniczkowe Clairauta


Równanie różniczkowe Clairauta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie różniczkowe Clairautarównanie różniczkowe postaci

y = x y + f ( y ) . {\displaystyle y=xy'+f(y').}

O funkcjach y {\displaystyle y} oraz f {\displaystyle f} zakładamy, że są różniczkowalne w pewnych przedziałach.

Przez różniczkowanie obu stron otrzymujemy

y = y + x y + f ( y ) y , {\displaystyle y'=y'+xy''+f'(y')y'',}

czyli

y = 0 {\displaystyle y''=0} lub 0 = x + f ( y ) . {\displaystyle 0=x+f'(y').}

To równanie łatwo rozwiązać. Jednak nie wszystkie rozwiązania tego równania są rozwiązaniami równania pierwotnego. Ostatecznie otrzymuje się rodzinę prostych i jej obwiednię.

Równanie Clairauta dla funkcji wielu zmiennych | edytuj kod

Równanie to można uogólnić na przypadek wielu zmiennych x 1 , x 2 , , x n . {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.} Ma ono wówczas postać

y = x 1 y x 1 + x 2 y x 2 + + x n y x n + f ( y x 1 , y x 2 , , y x n ) . {\displaystyle y={{x}_{1}}{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{1}}}}+{{x}_{2}}{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{2}}}}+\dots +{{x}_{n}}{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{n}}}}+f\left({\frac {\partial y}{\partial {{x}_{1}}}},{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{2}}}},\dots ,{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{n}}}}\right).}

Bibliografia | edytuj kod

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1997, wyd. XIV, ​ISBN 83-01-11658-7​.
Na podstawie artykułu: "Równanie różniczkowe Clairauta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy