Równanie różniczkowe Laplace’a


Równanie różniczkowe Laplace’a w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie różniczkowe Laplace’arównanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci:

u ( x ) = 0 , {\displaystyle \triangle u(x)=0,}

gdzie funkcja u : U R n R n {\displaystyle u:{\mathcal {U}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} jest klasy C 2 ( U ) . {\displaystyle C^{2}({\mathcal {U}}).} Znak {\displaystyle \triangle } oznacza operator Laplace’a. Dla n = 3 , {\displaystyle n=3,} w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:

2 x 2 u ( x , y , z ) + 2 y 2 u ( x , y , z ) + 2 z 2 u ( x , y , z ) = 0. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,y,z)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}u(x,y,z)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)=0.}

Alternatywne zapisy równania to:

div grad u = 0 , {\displaystyle \operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,u=0,}

czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:

2 u = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}u=0,} gdzie {\displaystyle \nabla } to operator nabla.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.

Spis treści

Interpretacja fizyczna | edytuj kod

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

Równanie Laplace’a występuje m.in.[1]:

  • w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace’a,
  • w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła,
  • w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy,
  • w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych,
  • w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.

Interpretacja matematyczna | edytuj kod

Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.

Rozwiązania | edytuj kod

Wzór Poissona dla półprzestrzeni | edytuj kod

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej g : R n 1 R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} } rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni R + n = { x = ( x 1 , , x n ) : x n > 0 } {\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x=(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{n}>0\}} spełniającym na brzegu R + n = { x = ( x 1 , , x n ) : x n = 0 } {\displaystyle \partial \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x=(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{n}=0\}} dla y R n 1 {\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n-1}} warunek u ( y , 0 ) = g ( y ) {\displaystyle u(y,0)=g(y)} jest:

u ( x ) = 2 x n n α ( n ) R + n g ( y ) | x ( y , 0 ) | n d y , {\displaystyle u(x)={\frac {2x_{n}}{n\alpha (n)}}\int _{\partial \mathbb {R} _{+}^{n}}{\frac {g(y)}{|x-(y,0)|^{n}}}dy,}

gdzie α ( n ) {\displaystyle \alpha (n)} jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Wzór Poissona dla kuli | edytuj kod

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej g : S n 1 ( 0 , r ) R {\displaystyle g:\mathbb {S} ^{n-1}(0,r)\to \mathbb {R} } rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli K n ( 0 , r ) {\displaystyle K^{n}(0,r)} spełniającym na (hiper-)sferze K n ( 0 , r ) = S n 1 ( 0 , r ) {\displaystyle \partial K^{n}(0,r)=S^{n-1}(0,r)} warunek u ( y ) = g ( y ) {\displaystyle u(y)=g(y)} jest:

u ( x ) = r 2 | x | 2 n α ( n ) r S n 1 ( 0 , r ) g ( y ) | x y | n d S ( y ) , {\displaystyle u(x)={\frac {r^{2}-|x|^{2}}{n\alpha (n)r}}\int _{S^{n-1}(0,r)}{\frac {g(y)}{|x-y|^{n}}}dS(y),}

gdzie α ( n ) {\displaystyle \alpha (n)} jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Feynman, Leighton i Sands 1974 ↓, s. 121.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Równanie różniczkowe Laplace’a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy