Równanie różniczkowe zwyczajne


Równanie różniczkowe zwyczajne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie różniczkowe zwyczajnerównanie, w którym występują: jedna zmienna niezależna t {\displaystyle t} oraz jedna lub więcej funkcji niewiadomych i ich pochodne.

Równanie różniczkowe byłoby cząstkowe, gdyby występowały w nim pochodne po dwu lub większej liczbie zmiennych niezależnych.

Wśród równań różniczkowych zwyczajnych równania różniczkowe liniowe odgrywają szczególną rolę, gdyż większość równań fizyki i matematyki stosowanej ma taką postać. Ponadto, równania nieliniowe są trudniejsze do rozwiązania i dlatego często przybliża się je za pomocą równań liniowych.

Spis treści

Definicje | edytuj kod

Oznaczenia | edytuj kod

Niech t {\displaystyle t} oznacza zmienną niezależną, x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)} zmienną zależną. Stosuje się różne oznaczenia na pochodne zmiennej zależnej x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)} względem zmiennej t {\displaystyle t}

  • d x d t , d 2 x d t 2 , , d n x d t n {\displaystyle {\frac {dx}{dt}},{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\dots ,{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}}
  • x , x , , x ( n ) {\displaystyle x',x'',\dots ,x^{(n)}}
  • x ˙ , x ¨ , x . . . . {\displaystyle {\dot {x}},{\ddot {x}},{\overset {...}{x}}.}

W praktyce (jak wyżej) zazwyczaj pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji x {\displaystyle x} i jej pochodnych, tzn. np. zamiast x ( t ) , , x ( n ) ( t ) {\displaystyle x(t),\dots ,x^{(n)}(t)} pisze się tylko x , x , x ( n ) . {\displaystyle x,x'\dots ,x^{(n)}.}

Ogólna definicja | edytuj kod

(1) Jeżeli F {\displaystyle F} jest funkcją zmiennej t , {\displaystyle t,} zmiennej x {\displaystyle x} oraz pochodnych zmiennej x , {\displaystyle x,} to równanie postaci

F ( t , x , x , , x ( n 1 ) ) = x ( n ) {\displaystyle F\left(t,x,x',\dots ,x^{(n-1)}\right)=x^{(n)}}

nazywa się jawnym równaniem różniczkowym rzędu n . {\displaystyle n.}

(2) Niejawnym równaniem różniczkowym rzędu n {\displaystyle n} nazywa się równanie postaci

F ( t , x , x , x ,   ,   x ( n ) ) = 0. {\displaystyle F\left(t,x,x',x'',\ \dots ,\ x^{(n)}\right)=0.}

Równanie różniczkowe liniowe rzędu n jednej zmiennej x(t) | edytuj kod

Równanie różniczkowe nazywamy liniowym rzędu n zmiennej zależnej x ( t ) {\displaystyle x(t)} , gdy F {\displaystyle F} można zapisać w postaci kombinacji liniowej funkcji x {\displaystyle x} i jej pochodnych:

i = 1 n a i x ( i ) + a 0 x = b , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\,x^{(i)}+a_{0}\,x=b,}

gdzie a i a i ( t ) , i = 0 , 1 , , n {\displaystyle a_{i}\equiv a_{i}(t),i=0,1,\dots ,n} oraz b b ( t ) {\displaystyle b\equiv b(t)} są różniczkowalnymi funkcjami zmiennej t , {\displaystyle t,} niekoniecznie liniowymi. Innymi słowy: równanie jest liniowe, gdy zmienna zależna i jej pochodne występują tylko w 1-sze potędze i nie ma wyrazów z funkcjami zmiennej x {\displaystyle x} czy jej pochodnych, np. sin x ( t ) , e x p ( x 3 ) , {\displaystyle \sin x(t),exp(x^{3}),} itd.

Przy tym mamy dwa istotne przypadki:

  • b ( t ) = 0 {\displaystyle b(t)=0} – wtedy równanie nazywa się jednorodnym
  • b ( t ) 0 {\displaystyle b(t)\neq 0} – wtedy równanie nazywa się niejednorodnym.

Przykłady:

(1) Równanie liniowe niejednorodne rzędu n = 1 {\displaystyle n=1}

x a t = v {\displaystyle x'-at=v}

np. równanie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem

(2) Równania liniowe niejednorodne rzędu n = 2 {\displaystyle n=2}

a) m x + k x = 0 {\displaystyle m\,x''+k\,x=0}

b) m x + k x = f ( t ) {\displaystyle m\,x''+k\,x=f(t)}

c) m x + b x + k x = 0 {\displaystyle m\,x''+b\,x'+k\,x=0}

np. równaniami a), b) oraz c) opisuje się ruch harmoniczny: a) swobodny b) z siłą wymuszającą f ( t ) , {\displaystyle f(t),} c) z tłumieniem.

Równanie różniczkowe nieliniowe rzędu n | edytuj kod

– to równanie, które nie jest liniowe

Przykłady: Równania nieliniowe jednej zmiennej zależnej

(1) x + g sin x ( t ) = 0 {\displaystyle x''+{\frac {g}{\ell }}\sin x(t)=0}

– opisuje drganie oscylatora anharmonicznego (np. wahadła matematycznego); aby równanie było liniowe, zmienna zależna powinna być w pierwszej potędze, nie w postaci funkcji sin x ; {\displaystyle \sin x;} dla małych drgań można dokonać przybliżenia sin x = x , {\displaystyle \sin x=x,} dzięki czemu upraszcza się równanie do postaci liniowej

(2) x = 3 x 2 2 t 3 + 4 {\displaystyle x'=3x^{2}-2t^{3}+4}

(3) x = x + ( 2 + e t ) x + ( 1 + t ) x 2 {\displaystyle x''=x'+(2+e^{t})\,x+(1+t)\,x^{2}}

(4) ( x ) 2 = 8 t x + 5 t x 3 t {\displaystyle (x')^{2}=8t\,x'+5t\,x^{3}-t}

– równania (2)-(4) są nieliniowe, bo zmienna zależna nie jest w pierwszej potędze, ale w drugiej lub trzeciej; dodatkowo w równaniu (4) pochodna x {\displaystyle x'} jest w drugiej potędze.

Układ równań różniczkowych zwyczajnych (ODE) | edytuj kod

Jeżeli mamy powiązanych ze sobą m {\displaystyle m} równań różniczkowych zwyczajnych, to tworzą one układ (ang. ordinary differential equations – ODE). Niech x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)} oznacza wektor, którego elementami są funkcje

x ( t ) = x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , , x m ( t ) , {\displaystyle \mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{m}(t)],}

zaś F {\displaystyle F} – funkcja, której wartościami są funkcje wektora x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)} i jego pochodnych, to

x ( n ) = F ( t , x , x , x , , x ( n 1 ) ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)}

jest jawną postacią układu równań różniczkowych zwyczajnych wymiaru m ; {\displaystyle m;} w postaci macierzowej mamy

( x 1 ( n ) x 2 ( n ) x m ( n ) ) = ( f 1 ( t , x , x , x , , x ( n 1 ) ) f 2 ( t , x , x , x , , x ( n 1 ) ) f m ( t , x , x , x , , x ( n 1 ) ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}^{(n)}\\x_{2}^{(n)}\\\vdots \\x_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}

Funkcje te niekoniecznie są liniowe. W postaci niejawnej mamy

F ( t , x , x , x , , x ( n ) ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {F} \left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}},}

gdzie 0 = ( 0 , 0 , , 0 ) {\displaystyle \mathbf {0} =(0,0,\dots ,0)} – wektor zerowy. W postaci macierzowej mamy

( f 1 ( t , x , x , x , , x ( n ) ) f 2 ( t , x , x , x , , x ( n ) ) f m ( t , x , x , x , , x ( n ) ) ) = ( 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\\f_{2}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}

Całkowanie równań różniczkowych. Całki | edytuj kod

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem.

Całką nazywa się jedno równanie x ( t ) {\displaystyle x(t)} lub zespół równań x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , x m ( t ) {\displaystyle x_{1}(t),x_{2}(t),\dots \,x_{m}(t)} wiążących funkcje niewiadome ze zmienną niezależną t . {\displaystyle t.} Po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Uwaga: Nie należy tego pojęcia mylić z pojęciem całki, rozumianej jako pole powierzchni pod krzywą.

Przykłady | edytuj kod

Równanie wektorowe drugiej zasady dynamiki | edytuj kod

Tor kuli wystrzelonej z armaty jest opisany krzywą będącą rozwiązaniem układu dwóch równań różniczkowych zwyczajnych, zadających współrzędne ciała na płaszczyźnie x ( t ) = x 1 ( t ) , x 2 ( t ) . {\displaystyle \mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t)].}

Równanie opisujące drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku ruchu ciała w przestrzeni 3-wymiarowej o stałej masie m {\displaystyle m} w polu wektora siły F ( t ) = F 1 ( t ) , F 2 ( t ) , F 3 ( t ) {\displaystyle \mathbf {F} (t)=[F_{1}(t),F_{2}(t),F_{3}(t)]} zmiennej w czasie ma postać:

d 2 x d t 2 = F m , {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\mathbf {F} }{m}},}

gdzie:

  • x ( t ) = x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , x 3 ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t)]} – wektor, określający położenia ciała w zależności od czasu t . {\displaystyle t.}

Jest to więc układ 3 równań różniczkowych liniowych rzędu n = 2 {\displaystyle n=2} trzech zmiennych x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , x 3 ( t ) , {\displaystyle x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t),} które są współrzędnymi ciała w przestrzeni.

Układ Lorentza | edytuj kod

Układ Lorentza – to układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych

{ x ˙ = σ y σ x y ˙ = x z + r x y z ˙ = x y b z , {\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=\sigma y-\sigma x\\{\dot {y}}=-xz+rx-y\\{\dot {z}}=xy-bz\end{cases}},}

gdzie: σ , {\displaystyle \sigma ,} r , {\displaystyle r,} b {\displaystyle b} – stałe parametry; tutaj oznaczono: x 1 x ( t ) , x 2 y ( t ) , x 3 z ( t ) ; {\displaystyle x_{1}\equiv x(t),x_{2}\equiv y(t),x_{3}\equiv z(t);} t {\displaystyle t} ma sens czasu.

Układ ten modeluje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze; badanie tego układu doprowadziło do odkrycia zjawiska chaosu deterministycznego.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010.
Kontrola autorytatywna (równanie różniczkowe):
Na podstawie artykułu: "Równanie różniczkowe zwyczajne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy