Równanie stanu (termodynamika)


Równanie stanu (termodynamika) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie stanu – związek między parametrami (funkcjami stanu) układu termodynamicznego, takimi jak ciśnienie P , {\displaystyle P,} gęstość masy ρ {\displaystyle \rho } (w przypadku relatywistycznym gęstość masy-energii i gęstość numeryczna cząstek), temperatura T , {\displaystyle T,} entropia s , {\displaystyle s,} energia wewnętrzna u , {\displaystyle u,} który można zapisać w postaci następującego równania:

P = P ( ρ , T , s , u ) . {\displaystyle P=P(\rho ,T,s,u\dots ).}

Równanie stanu służy do opisywania właściwości mikroskopowych płynów oraz ciał stałych, takich jak ściśliwość lub sprężystość, oraz własności makroskopowych, jak np. masy i promienie gwiazd.

Spis treści

Gaz doskonały | edytuj kod

Przykładowo dla gazu doskonałego równanie stanu (równanie Clapeyrona) ma postać

P V = n R T = k B T N , {\displaystyle PV=nRT=k_{B}TN,}

gdzie:

P {\displaystyle P} ciśnienie, V {\displaystyle V} objętość, n {\displaystyle n} – liczba moli, R {\displaystyle R} stała gazowa, T {\displaystyle T} temperatura w skali Kelvina, k B {\displaystyle k_{B}} stała Boltzmanna, N {\displaystyle N} – liczba cząsteczek gazu,

stąd:

P = k B T ( N / V ) = k B T ρ N , {\displaystyle P=k_{B}T(N/V)=k_{B}T\rho _{N},}

gdzie gęstość cząstek jednorodnie zbudowanego gazu doskonałego ρ N {\displaystyle \rho _{N}} to:

ρ N = N V . {\displaystyle \rho _{N}={\frac {N}{V}}.}

Gęstość masy ρ {\displaystyle \rho } to:

ρ = m N V = m ρ N , {\displaystyle \rho =m{\frac {N}{V}}=m\rho _{N},}

gdzie m {\displaystyle m} to masa cząsteczkowa.

Gęstość energii ϵ {\displaystyle \epsilon } to

ϵ = m c 2 N V = m c 2 ρ N , {\displaystyle \epsilon =mc^{2}{\frac {N}{V}}=mc^{2}\rho _{N},}

gdzie:

m c 2 {\displaystyle mc^{2}} – całkowita energia cząsteczki o masie m . {\displaystyle m.}

Otrzymujemy stąd równanie stanu gazu doskonałego:

P = k B T m c 2 ϵ = K ϵ . {\displaystyle P={\frac {k_{B}T}{mc^{2}}}\epsilon =K\epsilon .}

Równanie politropy | edytuj kod

Bardziej ogólną postać od równania gazu doskonałego daje równanie politropy

P = K ϵ Γ = K ϵ 1 + 1 n , {\displaystyle P=K\epsilon ^{\Gamma }=K\epsilon ^{1+{\frac {1}{n}}},}

gdzie:

n {\displaystyle n} wykładnik politropy.

Równanie stanu gazu rzeczywistego | edytuj kod

Równanie stanu gazu rzeczywistego można przybliżać na różne sposoby, np. [1][2] (wzory dla jednego mola, n = 1 {\displaystyle n=1} ).

Przy czym a , b , c , C , m {\displaystyle a,b,c,C,m} – stałe

Hipoteza stanów odpowiednich mówi, w odniesieniu do gazów, że dla tych samych parametrów zredukowanych gazy zachowują się tak samo, tak jak sugerują to równanie van der Waalsa, Berthelota i Dietericiego, czyli wykazują podobieństwo termodynamiczne.

Rozwinięcie wirialne:

P V R T = 1 + B ( T ) V + C ( T ) V 2 + D ( T ) V 3 + {\displaystyle {\frac {PV}{RT}}=1+{\frac {B(T)}{V}}+{\frac {C(T)}{V^{2}}}+{\frac {D(T)}{V^{3}}}+\cdots }

lub

P V R T = 1 + B ( T ) p + C ( T ) p 2 + D ( T ) p 3 + , {\displaystyle {\frac {PV}{RT}}=1+B'(T)p+C'(T)p^{2}+D'(T)p^{3}+\dots ,}

to najogólniejsza postać równania stanu gazów rzeczywistych.

Kosmologia | edytuj kod

Różne rodzaje materii mają różna równania stanu. Równanie stanu jest istotnym równaniem determinującym budowę i ewolucje gwiazdy.

W kosmologii równanie stanu determinuje ewolucję Wszechświata. W prostych modelach przyjmuje się, że poszczególne składniki wszechświata mają równanie stanu niezależne od temperatury, postaci

P = w ρ c 2 . {\displaystyle P=w\rho c^{2}.}
  • Dla „pyłu”, czyli zwykłej materii rozumianej jako „gaz galaktyk”, tak jak dla ciemnej materii, pomija się ciśnienie, czyli w = 0. {\displaystyle w=0.}
  • Dla „promieniowania”, materii ultrarelatywistycznej (gdy masa m 0 {\displaystyle m\to 0} ), np. gazu fotonowego, w = 1 / 3. {\displaystyle w=1/3.}
  • Dla kwintesencji w < 1 / 3. {\displaystyle w<-1/3.}

Przypisy | edytuj kod

  1. Hennel i Szuszkiewicz 1973 ↓, s. 81–83.
  2. Wróblewski i Zakrzewski 1991 ↓, s. 444–461.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Równanie stanu (termodynamika)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy