Równanie trygonometryczne


Równanie trygonometryczne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie trygonometrycznerównanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie w wyrażeniu będącym argumentem funkcji trygonometrycznej.

Elementarnym równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym po lewej stronie znaku równości występuje pojedyncza funkcja trygonometryczna, a po prawej stronie wyraz wolny.

Elementarne równania trygonometryczne to:

sin   x = a , {\displaystyle \sin \ x=a,} cos   x = a , {\displaystyle \cos \ x=a,} tg   x = a , {\displaystyle \operatorname {tg} \ x=a,} ctg   x = a , {\displaystyle \operatorname {ctg} \ x=a,}

gdzie:

a {\displaystyle a} – ustalona liczba rzeczywista.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych | edytuj kod

Rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych:

1. sin   x = a {\displaystyle \sin \ x=a}

  • dla | a | > 1 {\displaystyle |a|>1} równanie nie ma rozwiązań,
  • dla | a | 1 , {\displaystyle |a|\leqslant 1,}
x = x 0 + 2 k π x = π x 0 + 2 k π , {\displaystyle x=x_{0}+2k{\pi }\vee x={\pi }-x_{0}+2k{\pi },}

gdzie:

x 0 {\displaystyle x_{0}} – rozwiązanie należące do przedziału π 2 ; π 2 , {\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right],} k C . {\displaystyle k\in C.}

2. cos   x = a {\displaystyle \cos \ x=a}

  • dla | a | > 1 {\displaystyle |a|>1} równanie nie ma rozwiązań,
  • dla | a | 1 , {\displaystyle |a|\leqslant 1,}
x = x 0 + 2 k π x = x 0 + 2 k π , {\displaystyle x=x_{0}+2k{\pi }\vee x=-x_{0}+2k{\pi },}

gdzie:

x 0 {\displaystyle x_{0}} – rozwiązanie należące do przedziału 0 ; π , {\displaystyle [0;{\pi }],} k C . {\displaystyle k\in C.}

3. tg   x = a {\displaystyle \operatorname {tg} \ x=a}

  • dla a R {\displaystyle a\in R}
x = x 0 + k π , {\displaystyle x=x_{0}+k{\pi },}

gdzie:

x 0 {\displaystyle x_{0}} – rozwiązanie należące do przedziału ( π 2 ; π 2 ) , {\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right),} k C . {\displaystyle k\in C.}

4. ctg   x = a {\displaystyle \operatorname {ctg} \ x=a}

  • dla a R {\displaystyle a\in R}
x = x 0 + k π , {\displaystyle x=x_{0}+k{\pi },}

gdzie:

x 0 {\displaystyle x_{0}} – rozwiązanie należące do przedziału ( 0 ; π ) , {\displaystyle (0;{\pi }),} k C . {\displaystyle k\in C.}

W przypadku bardziej złożonego równania trygonometrycznego należy ujednolicić wszystkie funkcje trygonometryczne i ich argumenty, a następnie sprowadzić równanie do postaci elementarnej.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Encyklopedia matematyka, A. Nawrot (red.), Sabak, Kraków 2009.
Na podstawie artykułu: "Równanie trygonometryczne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy