Równoważność


Równoważność w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym, jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...

Przykłady:

Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 5. (zdanie fałszywe) Jutro pójdę do kina wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda.

tzn. pójdę do kina, jeżeli będzie ładna pogoda oraz jeżeli pójdę do kina, to będzie ładna pogoda.

Spójnik | edytuj kod

Równoważność można definiować jako dwuargumentowy funktor zdaniotwórczy (spójnik zdaniowy), którego funkcja prawdziwościowa odpowiada znaczeniu zwrotu …wtedy i tylko wtedy, gdy… Dla danych zdań p , q {\displaystyle p,q} ich równoważność zapisuje się symbolem p q . {\displaystyle p\leftrightarrow q.} Jednym z praw dotyczących spójnika równoważności jest to, że ma on tę samą wartość logiczną, co zdanie

( p q ) ( p q ) , {\displaystyle (p\to q)\land (p\leftarrow q),}

czyli zdania p {\displaystyle p} i q {\displaystyle q} są równoważne, jeżeli zdanie: „z p {\displaystyle p} wynika q , {\displaystyle q,} a z q {\displaystyle q} wynika p {\displaystyle p} ” jest prawdziwe.

gdzie:

1 – zdanie prawdziwe 0 – fałszywe

Identyczność | edytuj kod

Zdanie p q {\displaystyle p\leftrightarrow q} może przyjmować dowolną z dwóch wartości (prawda oraz fałsz). Jednak jeżeli jest ono prawdziwe dla dowolnych wartościowań zmiennych zdaniowych występujących tak w zdaniu p , {\displaystyle p,} jak i w q , {\displaystyle q,} to takie zdanie nazywa się tautologią. Wówczas zdania p {\displaystyle p} i q {\displaystyle q} można uważać za tożsame w sensie logicznym. Fakt ten zapisuje się wtedy symbolem p q . {\displaystyle p\Leftrightarrow q.} Zaznaczone w poprzedniej sekcji prawo, iż równoważność jest tożsama koniunkcji dwóch implikacji (materialnych), prostej i przeciwnej, można zapisać następująco:

( p q ) ( p q ) ( q p ) . {\displaystyle (p\leftrightarrow q)\Leftrightarrow [(p\to q)\land (q\to p)].}

Oczywiście

( p q ) ( p q ) ( q p ) , {\displaystyle (p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow [(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p)],}

gdzie {\displaystyle \Rightarrow } oznacza implikację logiczną.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Równoważność" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy