Reguła de l’Hospitala


Reguła de l’Hospitala w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji f ( x ) = sin ( x ) {\displaystyle {\color {BurntOrange}f(x)}={\color {BurntOrange}\sin(x)}} i g ( x ) = 0 , 5 x : {\displaystyle {\color {Red}g(x)}={\color {Red}-0{,}5x}{:}} funkcja h ( x ) = f ( x ) / g ( x ) {\displaystyle {\color {Brown}h(x)}={\color {BurntOrange}f(x)}/{\color {Red}g(x)}} jest nieokreślona w punkcie x = 0 , {\displaystyle x=0,} ale może być kontynuowana jako funkcja ciągła w całym zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} } z wykorzystaniem definicji h ( 0 ) = f ( 0 ) / g ( 0 ) = 2. {\displaystyle {\color {Brown}h(0)}={\color {RoyalBlue}f'(0)}/{\color {Blue}g'(0)}=-2.}

Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala[a] – zwyczajowa nazwa twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego, które umożliwia wyznaczenie granic wyrażeń dających w wyniku symbol nieoznaczony.

Spis treści

Rys historyczny | edytuj kod

Reguła ta została odkryta przez Jana Bernoulliego, opublikowana zaś przez jego ucznia Guillaume’a François Antoine’a de l’Hospitala[a]. W 1696 Guillaume de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, w którym zawarte zostało dyskutowane tu twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.

Reguła l’Hospitala | edytuj kod

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt a {\displaystyle a} oraz
  1. lim x a f ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0,}
  2. lim x a g ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0,}
oraz istnieją (skończone) pochodne f ( a ) {\displaystyle f'(a)} i g ( a ) , {\displaystyle g'(a),} przy czym g ( a ) 0 , {\displaystyle g'(a)\neq 0,} wówczas lim x a f ( x ) g ( x ) = f ( a ) g ( a ) . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}.} Jeśli dodatkowo f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} mają ciągłe pochodne w punkcie a , {\displaystyle a,} to lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f ( x ) g ( x ) . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.

lim x 0 e x e x ln ( e x ) + x 1 = lim x 0 ( e x + e x ) 1 e x + 1 = lim x 0 ( e x + e x ) 1 + ( e x ) e x = lim x 0 ( e x + e x ) ( e x ) 1 + ( e x ) = 2 e e 1 . {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{{\tfrac {-1}{e-x}}+1}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{\tfrac {-1+(e-x)}{e-x}}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}}={\tfrac {2e}{e-1}}.}

Często zdarza się jednak, że funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} nie są określone w punkcie a , {\displaystyle a,} jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala:

Wersja podstawowa (dla granic w punkcie) | edytuj kod

Niech funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} będą określone w przedziale ( a , b {\displaystyle (a,b]} oraz

  1. lim x a + f ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=0,}
  2. lim x a + g ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=0,}

lub

  1. lim x a + f ( x ) = ± , {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}
  2. lim x a + g ( x ) = ± , {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=\pm \infty ,}

oraz istnieją (skończone) pochodne f {\displaystyle f'} i g {\displaystyle g'} w przedziale ( a , b , {\displaystyle (a,b],} przy czym g ( x ) 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} dla x ( a , b . {\displaystyle x\in (a,b].}

Wówczas, jeśli istnieje granica

lim x a + f ( x ) g ( x ) = K , {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,}

to wtedy również

lim x a + f ( x ) g ( x ) = K . {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.}

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.

Wersja dla granic w nieskończoności | edytuj kod

Niech funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} będą określone w przedziale c , ) {\displaystyle [c,\infty )} oraz

  1. lim x f ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0,}
  2. lim x g ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=0,}

lub

  1. lim x f ( x ) = ± , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\pm \infty ,}
  2. lim x g ( x ) = ± , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=\pm \infty ,}

oraz istnieją (skończone) pochodne f {\displaystyle f'} i g {\displaystyle g'} w przedziale c , ) , {\displaystyle [c,\infty ),} przy czym g ( x ) 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} dla x c , ) . {\displaystyle x\in [c,\infty ).}

Wówczas, jeśli istnieje granica

lim x f ( x ) g ( x ) = K , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,}

to wtedy również

lim x f ( x ) g ( x ) = K . {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.}

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy x . {\displaystyle x\to -\infty .}

Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych | edytuj kod

Jeżeli funkcje f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} są określone w przedziale otwartym I {\displaystyle I} zawierającym punkt a {\displaystyle a} oraz

  1. w przedziale I {\displaystyle I} istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do n {\displaystyle n} włącznie funkcji f {\displaystyle f} i g , {\displaystyle g,}
  2. f ( a ) = f ( a ) = = f ( n 1 ) ( a ) = 0 , {\displaystyle f(a)=f'(a)=\ldots =f^{(n-1)}(a)=0,} g ( a ) = g ( a ) = = g ( n 1 ) ( a ) = 0 , {\displaystyle g(a)=g'(a)=\ldots =g^{(n-1)}(a)=0,} oraz g ( n ) ( a ) 0 , {\displaystyle g^{(n)}(a)\neq 0,}
  3. g ( x ) 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} dla x I { a } , {\displaystyle x\in I\setminus \{a\},}

wówczas

lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f ( n ) ( x ) g ( n ) ( x ) . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}}.}

Zastosowania | edytuj kod

  • Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie poprzez podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:
lim x 0   sin x x = sin 0 0 = 0 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}~{\frac {\sin x}{x}}=\left[{\frac {\sin 0}{0}}\right]=\left[{\frac {0}{0}}\right]}

W takim przypadku stosujemy regułę de l’Hospitala, zamieniając licznik oraz mianownik wyrażenia na ich pochodne:

lim x 0   ( sin x ) ( x ) = lim x 0   cos x 1 = 1 1 = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}~{\frac {(\sin x)'}{(x)'}}=\lim _{x\to 0}~{\frac {\cos x}{1}}={\frac {1}{1}}=1}

Uwaga: nie jest to dowód! Przy obliczaniu pochodnej sinusa potrzebna jest wartość granicy lim x 0 sin x x . {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}.}

  • Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji. Może się jednak zdarzyć, że granica ilorazu pochodnych nie istnieje, a mimo to istnieje granica ilorazu funkcji.
  • Niekiedy aby uzyskać wynik, należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. a b Ze względu na ewolucję pisowni francuskiej nazwisko „de l’Hospital” można również pisać „de l’Hôpital” bez (niemego) „s”, lecz z cyrkumfleksem nad „o”, co nie wpływa na wymowę – obie wersje wymawia się [dəlopital].

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Reguła de l’Hospitala" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy