Regularyzacja funkcją dzeta


Regularyzacja funkcją dzeta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Regularyzacja funkcją dzeta – rodzaj regularyzacji lub metoda sumowania, która przypisuje skończone wartości dla rozbieżnych szeregów lub iloczynów. Sposób ten jest obecnie powszechnie stosowany do rozwiązywania problemów fizycznych, lecz pierwotnie wywodzi się z prób nadania dokładnych znaczeń dla źle uwarunkowanych sum w teorii liczb.

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Istnieje wiele różnych metod sumowania określanych mianem regularyzacji funkcją dzeta stosowanych do obliczenia wartości potencjalnie rozbieżnych szeregów a 1 + a 2 + {\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots }

Jedną z metod jest zdefiniowanie sumy regularyzowanej funkcją dzeta jako ζ A ( 1 ) , {\displaystyle \zeta _{A}(-1),} gdzie funkcja dzeta jest zdefiniowana dla dużych R e ( s ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)} jako

ζ A ( s ) = 1 a 1 s + 1 a 2 s + {\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots }

dla s {\displaystyle s} w których ten szereg jest zbieżny, lub stosując przedłużenie analityczne tej funkcji dla pozostałych wartości. W przypadku gdy a n = n {\displaystyle a_{n}=n} zastosowana funkcja dzeta staje się zwykłą funkcją dzeta Riemanna. Taką metodę zastosował Euler do „zsumowania” szeregu 1 + 2 + 3 + 4 + …, obliczając ζ ( 1 ) = 1 / 12. {\displaystyle \zeta (-1)=-1/12.}

Inną metodą jest zdefiniowanie potencjalnie rozbieżnego iloczynu a 1 a 2 {\displaystyle a_{1}a_{2}\dots } jako exp ( ζ A ( 0 ) ) . {\displaystyle \exp(-\zeta '_{A}(0)).} Ray i Sinker[1] zastosowali tę metodę aby określić wyznacznik dodatniego operatora A {\displaystyle A} (laplasjanu rozmaitości riemannowskiej w ich zastosowaniu) z wartościami własnymi a 1 , a 2 , {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots } W tym konkretnym przypadku funkcja dzeta jest formalnie śladem A s . {\displaystyle A^{-s}.}

Przykład | edytuj kod

Przykładem zastosowania regularyzacji funkcją dzeta jest wyznaczenie wartości oczekiwanej energii próżni w kwantowej teorii pola. Uogólniając, funkcją dzeta można zastosować do regularyzacji całego tensora napięć-energii w zakrzywionej czasoprzestrzeni[2][3].

Nieuregulowana wartość energii jest wyznaczona jako suma wszystkich stanów wzbudzonych energii punktu zerowego:

0 | T 00 | 0 = n | ω n | 2 , {\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}},}

w którym T 00 {\displaystyle T_{00}} jest zerowym składnikiem tensora napięć a suma (która może być całką) jest rozumiana jako rozszerzenie na wszystkie (dodatnie i ujemne) stany energetyczne ω n ; {\displaystyle \omega _{n};} moduł podkreśla, że liczona jest energia całkowita. Suma ta, zapisana w tej postaci, jest zazwyczaj nieskończona (typowo ω n {\displaystyle \omega _{n}} jest w zależności liniowej z n {\displaystyle n} ). Może ona być uregularyzowana przez zapisanie jako

0 | T 00 ( s ) | 0 = n | ω n | 2 | ω n | s , {\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s},}

gdzie s {\displaystyle s} jest jakimś parametrem w dziedzinie liczb zespolonych. Dla liczb rzeczywistych s {\displaystyle s} większych niż 4 (dla przestrzeni trójwymiarowej), suma ta staje się skończona, a więc często może być wyliczona teoretycznie.

Taka suma ma zwykle biegun dla s = 4 , {\displaystyle s=4,} z powodu masowego udziału pola kwantowego w przestrzeni trójwymiarowej. Jednak, dzięki przedłużeniu analitycznemu udaje się uzyskać wartości dla s = 0 , {\displaystyle s=0,} w którym funkcja już bieguna nie ma, a więc wartość wyrażenia jest skończona. Szczegółową analizę tego rozwiązania można znaleźć w pracach na temat efektu Casimira.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. D.B. Ray, I.M. Singer. R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. „Advances in Math.”. 7, s. 145–210, 1971. DOI: 10.1016/0001-8708(71)90045-4
  2. V. Moretti, Direct z-function approach and renormalization of one-loop stress tensor in curved spacetimes, Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).
  3. A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti i S. Zerbini: Analytic Aspects of Quantum Fields. World Scientific Publishing, 2003. ISBN 981-238-364-6.
Na podstawie artykułu: "Regularyzacja funkcją dzeta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy