Relacja antysymetryczna


Relacja antysymetryczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Relacja antysymetryczna, relacja słabo antysymetryczna – dwuczłonowa relacja, która nie może zachodzić jednocześnie dla par ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} i ( y , x ) {\displaystyle (y,x)} dla różnych x {\displaystyle x} i y . {\displaystyle y.}

Formalnie relację dwuczłonową ϱ X × X {\displaystyle \varrho \subset X\times X} nazywa się antysymetryczną, gdy:

x , y X ( x ϱ y y ϱ x x = y ) . {\displaystyle \forall _{x,y\in X}(x\;\varrho \;y\land y\;\varrho \;x\;\Rightarrow \;x=y).}

Innymi słowy, dla każdych dwóch elementów ze zbioru, na którym określono relację antysymetryczną, jeśli te dwa elementy pozostają ze sobą w tej relacji bez względu na ich kolejność, to elementy te są identyczne (tzn. jest to ten sam element).

Powyższe zdanie jest kontrapozycją warunku przedstawionego we wstępie: jeśli dwa elementy są różne, to relacja antysymetryczna między nimi nie zachodzi przynajmniej w jedną stronę (dla x y {\displaystyle x\neq y} przynajmniej jedna z par ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} i ( y , x ) {\displaystyle (y,x)} nie należy do relacji).

Obie nazwy: relacja antysymetryczna i relacja słabo antysymetryczna, są w użyciu. Na przykład Wojciech Guzicki i Piotr Zakrzewski[1] podają pierwszą nazwę, ale Wiktor Marek i Janusz Onyszkiewicz[2] używają drugiej.

Przykłady | edytuj kod

  • Relacja równości w dowolnym zbiorze.
  • Relacja porządku w alfabecie łacińskim – dla dowolnie wybranych dwu różnych liter nie może jedna z nich występować w alfabecie jednocześnie wcześniej i później niż druga (to samo tyczy wszelkich porządków).

Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne lub antysymetryczne:

  • Bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Wojciech Guzicki; Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005. Strona 173. ​ISBN 83-01-14415-7​.
  2. Wiktor Marek; Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, wydanie 2., strona 38.
Na podstawie artykułu: "Relacja antysymetryczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy