Relacja przechodnia

Relacja przechodnia w encyklopedii

Relacja przechodnia (tranzytywna) – relacja, która jeśli zachodzi dla pary ${\displaystyle (x,y)}$ oraz pary ${\displaystyle (y,z),}$ to zachodzi też dla pary ${\displaystyle (x,z).}$

Relację dwuczłonową ${\displaystyle \varrho \subset X\times X}$ nazywa się przechodnią, gdy:

Równoważnie, ${\displaystyle \varrho }$ jest przechodnia dokładnie wtedy, gdy ${\displaystyle \varrho \circ \varrho \subseteq \varrho ,}$ gdzie „${\displaystyle \circ }$” oznacza działanie składania relacji binarnych.

Przykłady | edytuj kod

Relacje przechodnie:

• każda relacja równoważności, np. równość,
• relacje mniejszości, większości, niemniejszości, niewiększości,
• relacja kolejności,
• relacja podzielności w zbiorze liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} }$ jest przechodnia,
• relacja zawierania zbiorów jest przechodnia,
• relacja „jest przodkiem” jest przechodnia.

Relacje nieprzechodnie:

• relacja różności „${\displaystyle \neq }$” nie jest przechodnia. ${\displaystyle 1\neq 2}$ i ${\displaystyle 2\neq 1,}$ ale ${\displaystyle 1=1,}$
• relacja „jest rodzicem” nie jest przechodnia – dziadkowie nie są rodzicami swoich wnuków,
• liniowa niezależność dwóch wektorów,
• przecinanie się zbiorów,
• przemienność komutacja funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych,
• współpłaszczyznowość (komplanarność) dwóch prostych, półprostych, odcinków lub wektorów.

Zobacz też | edytuj kod

• relacja porządku częściowego
• relacja równoważności

Na podstawie artykułu: "Relacja przechodnia" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy