Relacja przechodnia


Relacja przechodnia w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Relacja przechodnia (tranzytywna) – relacja, która jeśli zachodzi dla pary ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} oraz pary ( y , z ) , {\displaystyle (y,z),} to zachodzi też dla pary ( x , z ) . {\displaystyle (x,z).}

Relację dwuczłonową ϱ X × X {\displaystyle \varrho \subset X\times X} nazywa się przechodnią, gdy:

x , y , z X ( x ϱ y y ϱ z ) x ϱ z . {\displaystyle \forall _{x,y,z\in X}\;(x\;\varrho \;y\land y\;\varrho \;z)\Rightarrow x\;\varrho \;z.}

Równoważnie, ϱ {\displaystyle \varrho } jest przechodnia dokładnie wtedy, gdy ϱ ϱ ϱ , {\displaystyle \varrho \circ \varrho \subseteq \varrho ,} gdzie „ {\displaystyle \circ } ” oznacza działanie składania relacji binarnych.

Przykłady | edytuj kod

Relacje przechodnie:

Relacje nieprzechodnie:

  • relacja różności „ {\displaystyle \neq } ” nie jest przechodnia. 1 2 {\displaystyle 1\neq 2} i 2 1 , {\displaystyle 2\neq 1,} ale 1 = 1 , {\displaystyle 1=1,}
  • relacja „jest rodzicem” nie jest przechodnia – dziadkowie nie są rodzicami swoich wnuków,
  • liniowa niezależność dwóch wektorów,
  • przecinanie się zbiorów,
  • przemienność komutacja funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych,
  • współpłaszczyznowość (komplanarność) dwóch prostych, półprostych, odcinków lub wektorów.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Relacja przechodnia" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy