Reprezentacja grupy


Reprezentacja grupy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Reprezentacja grupy – każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Reprezentacją grupy G {\displaystyle G} w przestrzeni liniowej V {\displaystyle V} nad ciałem K {\displaystyle K} jest homomorfizm grupowy grupy G {\displaystyle G} w pełną grupę liniową G L ( V ) . {\displaystyle GL(V).}

Wymiar przestrzeni wektorowej V {\displaystyle V} nazywamy wymiarem reprezentacji.

Minimalność | edytuj kod

Jeśli G {\displaystyle G} jest skończona, to minimalnym (bądź wiernym) stopniem tej grupy, oznaczanym symbolem μ ( G ) , {\displaystyle \mu (G),} nazywa się najmniejszą liczbę naturalną n , {\displaystyle n,} dla której G {\displaystyle G} jest podgrupą grupy symetrycznej S n {\displaystyle S_{n}} rzędu n ; {\displaystyle n;} dowolne takie zawieranie nazywa się minimalną (bądź wierną) reprezentacją grupy G . {\displaystyle G.}

Charaktery | edytuj kod

Niech V {\displaystyle V} będzie zespoloną przestrzenią wektorową. Charakterem reprezentacji φ {\displaystyle \varphi } nazywamy odwzorowanie χ φ : G C , χ φ ( g ) = tr φ ( g ) , {\displaystyle \chi _{\varphi }\colon G\to \mathbb {C} ,\;\chi _{\varphi }(g)=\operatorname {tr} \,\varphi (g),} gdzie g G , {\displaystyle g\in G,} zaś tr {\displaystyle \operatorname {tr} } jest operatorem śladu.

Iloczyny tensorowe i sumy proste | edytuj kod

Suma prosta reprezentacji to odwzorowanie {\displaystyle \oplus } przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy sumę prostą odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

φ : G G L ( V ) , {\displaystyle \varphi :G\to GL(V),} ψ : G G L ( W ) , {\displaystyle \psi :G\to GL(W),}

jest to

φ ψ : G G L ( V W ) , {\displaystyle \varphi \oplus \psi :G\to GL(V\oplus W),} ( φ ψ ) ( g ) = φ ( g ) ψ ( g ) . {\displaystyle (\varphi \oplus \psi )(g)=\varphi (g)\oplus \psi (g).}

Analogicznie iloczyn tensorowy reprezentacji to odwzorowanie {\displaystyle \otimes } przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy iloczyn tensorowy odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

φ : G G L ( V ) , {\displaystyle \varphi :G\to GL(V),} ψ : G G L ( W ) , {\displaystyle \psi :G\to GL(W),}

jest to

φ ψ : G G L ( V W ) , {\displaystyle \varphi \otimes \psi :G\to GL(V\otimes W),} ( φ ψ ) ( g ) = φ ( g ) ψ ( g ) . {\displaystyle (\varphi \otimes \psi )(g)=\varphi (g)\otimes \psi (g).}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (homomorfizm grup):
Na podstawie artykułu: "Reprezentacja grupy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy