Rotacja


Rotacja w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rotacja lub wirowośćoperator różniczkowy działający na pole wektorowe F , {\displaystyle \mathbf {F} ,} tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez rot {\displaystyle \operatorname {rot} } lub curl {\displaystyle \operatorname {curl} } (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako d F . {\displaystyle dF.}

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole nie posiadające potencjału jest polem wirowym).

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla {\displaystyle \nabla } i wektora F {\displaystyle \mathbf {F} } :

B = rot ( F ) = × F . {\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} .}

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

d ( G F ) = i r o t ( F ) Ω , {\displaystyle d(G\circ F)=i_{rot(F)}\Omega ,}

gdzie:

( G F ) = g ( F , ) , {\displaystyle (G\circ F)=g(F,\bullet ),} g – tensor metryczny, i r o t ( F ) Ω {\displaystyle i_{rot(F)}\Omega } – zwężenie formy objętości Ω {\displaystyle \Omega } z rot(F).

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich | edytuj kod

W kartezjańskim układzie współrzędnych F = F x , F y , F z {\displaystyle F=[F_{x},F_{y},F_{z}]} mamy więc

x y z × F = F z y F y z F x z F z x F y x F x y . {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial y}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial z}}\end{bmatrix}}\times F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}.}
Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

| i j k x y z F x F y F z | , {\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}},}

gdzie i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } wersorami osi x , y , z {\displaystyle x,y,z} układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

( F z y F y z ) i + ( F x z F z x ) j + ( F y x F x y ) k . {\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}

Rotacja w innych układach współrzędnych | edytuj kod

W układzie współrzędnych walcowych[1]:

× F ( ρ , φ , z ) = ( 1 ρ F z φ F φ z ) e ρ + ( F ρ z F z ρ ) e φ + ( 1 ρ ρ F φ ρ 1 ρ F ρ φ ) e z {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\rho ,\varphi ,z)=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{\rho }+\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)\mathbf {e} _{\varphi }+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho F_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {e} _{z}}

W układzie współrzędnych sferycznych[1]:

× F ( r , φ , θ ) = 1 r sin θ ( θ ( sin θ F φ ) F θ φ ) e r + 1 r ( r F θ ) r 1 r F r θ e φ + 1 r sin θ F r φ 1 r ( r ( r F φ ) ) e θ {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (r,\varphi ,\theta )=\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta F_{\varphi })-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\right]\mathbf {e} _{r}+\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rF_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right]\mathbf {e} _{\varphi }+\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{\varphi })\right)\right]\mathbf {e} _{\theta }}

Notacja Einsteina | edytuj kod

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

( × F ) k = ϵ k m F m . {\displaystyle (\nabla \times F)_{k}=\epsilon _{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}.}

Własności rotacji | edytuj kod

Oznaczając przez F , G {\displaystyle F,G} pola wektorowe, przez f {\displaystyle f} pole skalarne dla a , b R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } zachodzą następujące własności:

× ( a F + b G ) = a × F + b × G , {\displaystyle \nabla \times (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G} ,} × f = 0 , {\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathbf {0} ,}
  • rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
× ( f F ) = f × F + f × F , {\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {F} )=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F} ,} × ( F × G ) = ( G ) F ( F ) G + F ( G ) G ( F ) , {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\mathbf {G} \cdot \nabla )\mathbf {F} -(\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {G} +\mathbf {F} (\nabla \cdot \mathbf {G} )-\mathbf {G} (\nabla \cdot \mathbf {F} ),}
  • rotacja z rotacji pola wektorowego F {\displaystyle F} :
× ( × F ) = ( F ) Δ F , {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\Delta \mathbf {F} ,}
  • każde pole o zerowej rotacji ( × F = 0 ) {\displaystyle (\nabla \times F=0)} można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że F = V {\displaystyle F=-\nabla V} ); zob. twierdzenie Helmholtza.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIX. Warszawa: PWN, 2002, s. 676–677. ISBN 83-01-11658-7.
Na podstawie artykułu: "Rotacja" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy