Rozdzielność


Rozdzielność w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

Niech {\displaystyle \oplus } i {\displaystyle \otimes } będą symbolami pewnych działań w zbiorze S . {\displaystyle S.} Powiemy, że działanie {\displaystyle \otimes } jest rozdzielne względem działania , {\displaystyle \oplus ,} jeżeli a , b , c S {\displaystyle \forall _{a,b,c\in S}} zachodzą równości:

  • a ( b c ) = ( a b ) ( a c ) , {\displaystyle a\otimes (b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c),}
  • ( b c ) a = ( b a ) ( c a ) . {\displaystyle (b\oplus c)\otimes a=(b\otimes a)\oplus (c\otimes a).}

Można mówić o rozdzielności lewostronnej działania {\displaystyle \otimes } względem , {\displaystyle \oplus ,} gdy spełniony jest jedynie pierwszy z warunków lub o rozdzielności prawostronnej, gdy spełniony jest wyłącznie drugi z warunków.

Działanie przemienne i jednostronnie rozdzielne jest rozdzielne obustronnie.

Przykłady | edytuj kod

W arytmetyce liczb rzeczywistych:

  • mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:
a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c ) . {\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c).}

W teorii mnogości:

A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) , {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),} A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) . {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}

W rachunku zdań:

p ( q r ) = ( p q ) ( p r ) , {\displaystyle p\land (q\lor r)=(p\land q)\lor (p\land r),} p ( q r ) = ( p q ) ( p r ) . {\displaystyle p\lor (q\land r)=(p\lor q)\land (p\lor r).}

Dodawanie liczb nie jest rozdzielne względem mnożenia:

2 + ( 2 3 ) ( 2 + 2 ) ( 2 + 3 ) . {\displaystyle 2+(2\cdot 3)\neq (2+2)\cdot (2+3).}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Rozdzielność" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy