Rozkład Dirichleta


Rozkład Dirichleta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rozkład Dirichleta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa wielu zmiennych, określona wektorem α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} dodatnich liczb rzeczywistych. Stanowi uogólnienie rozkładu beta w przestrzeni wielu zmiennych. Rozkład Dirichleta jest często używany w rachunku prawdopodobieństwa wraz z twierdzeniem Bayesa jak rozkład aprioryczny i faktycznie rozkład Dirichleta jest rozkładem komunigacyjnym rozkładu dyskretnego. W efekcie funkcja rozkładu zwraca przekonanie, że prawdopodobieństwo K {\displaystyle K} możliwych zdarzeń losowych wynosi x i {\displaystyle x_{i}} biorąc pod uwagę, że każde zdarzenie zostało zaobserwowane α i 1 {\displaystyle \alpha _{i}-1} razy.

Wielowymiarowym uogólnieniem rozkładu Dirichleta jest proces Dirichleta.

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Wykres ilustruje jak zmienia się logarytm funkcji rozkładu kiedy K = 3 {\displaystyle K=3} i zmieniany jest wektor α {\displaystyle \alpha } od α = {\displaystyle \alpha ={}} (0,3, 0,3, 0,3) do (2,0, 2,0, 2,0), zachowując wszystkie α i {\displaystyle \alpha _{i}} równe sobie nawzajem.

Rozkład Dirichleta rzędu K 2 {\displaystyle K\geqslant 2} z parametrami α 1 , , α K > 0 {\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{K}>0} ma funkcję rozkładu prawdopodobieństwa w mierze Lebesgue’a dla przestrzeni euklidesowej RK−1 określoną zależnością:

f ( x 1 , , x K 1 ; α 1 , , α K ) = 1 B ( α ) i = 1 K x i α i 1 , {\displaystyle f\left(x_{1},\dots ,x_{K-1};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha )}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1},}

na otwartym zbiorze ( K 1 ) {\displaystyle (K-1)} -wymiarowego sympleksu określonego jako:

x 1 , , x K 1 > 0 x 1 + + x K 1 < 1 x K = 1 x 1 x K 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1},\dots ,x_{K-1}>0\\&x_{1}+\cdots +x_{K-1}<1\\&x_{K}=1-x_{1}-\cdots -x_{K-1}\end{aligned}}}

oraz zero poza.

Stałą normalizującą jest wielomianowa funkcja B, którą można wyrazić w zależności od funkcji gamma:

B ( α ) = i = 1 K Γ ( α i ) Γ ( i = 1 K α i ) , α = ( α 1 , , α K ) . {\displaystyle \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}},\qquad {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K}).}

Nośnik | edytuj kod

Nośnikiem rozkładu Dirichleta jest zbiór K {\displaystyle K} -wymiarowych wektorów x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} określonych liczbami rzeczywistymi w zakresie (0,1), tak więc x 1 = 1 , {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}=1,} co znaczy że suma wszystkich składowych jest 1. Mogą być one przedstawiane jako prawdopodobieństwa K {\displaystyle K} -wymiarowego zdarzenia. Należy zauważyć, iż w praktyce zbiór punktów w nośnika dla K {\displaystyle K} -wymiarowego rozkładu Dirichleta jest zamkniętym zbiorem ( K 1 ) {\displaystyle (K-1)} -sympleksów, znajdujących się w przestrzeni K {\displaystyle K} -wymiarowej. Przykładowo dla K = 3 {\displaystyle K=3} jest to trójkąt równoboczny zawarty w trójwymiarowej przestrzeni z wierzchołkami (1;0;0), (0;1;0) oraz (0;0;1), „dotykający” każdej z osi w odległości 1 od początku układu współrzędnych.

Zobacz też | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Rozkład Dirichleta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy