Rozszerzenie algebraiczne


Rozszerzenie algebraiczne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rozszerzenie algebraiczne – w teorii ciał rozszerzenie L {\displaystyle L} ciała K , {\displaystyle K,} którego każdy element jest algebraiczny nad K . {\displaystyle K.}

Rozważania nad rozszerzeniem ciała K {\displaystyle K} o pewien element a , {\displaystyle a,} należący do ciała L , {\displaystyle L,} które samo stanowi rozszerzenie ciała K , {\displaystyle K,} Jerzy Browkin zaczyna od wprowadzenia pewnego homomorfizmu φ , {\displaystyle \varphi ,} mianowicie takiego, który elementom pierścienia wielomianów K x {\displaystyle K[x]} przyporządkowywać będzie wartość, jaką dany wielomian przyjmuje po podstawieniu za x {\displaystyle x} a . {\displaystyle a.} Formalizując, φ ( f ( x ) ) = f ( a ) {\displaystyle \varphi (f(x))=f(a)} [1].

Jądrem skonstruowanego w ten sposób homomorfizmu będzie zbiór tych tylko wielomianów z K x , {\displaystyle K[x],} które przyjmują dla zmiennej a {\displaystyle a} wartość 0. {\displaystyle 0.} W dalszym ciągu przywołać należy, że L {\displaystyle L} stanowi ciało, a każde ciało jest dziedziną całkowitości[1]. Dowodzi się zaś, że jeśli dany pierścień ilorazowy P / I {\displaystyle P/I} jest dziedziną całkowitości, to ideał I {\displaystyle I} jest pierwszy[2]. Skoro tak, to i jądro rozpatrywanego homomorfizmu φ {\displaystyle \varphi } musi być ideałem pierwszym. Pierścień wielomianów ma ideały pierwsze w postaci bądź ideału zerowego, bądź to ideałów maksymalnych, a każdy ideał tego pierścienia jest główny – skoro więc ma być to jednocześnie ideał maksymalny, będzie on generowany przez pewien wielomian nierozkładalny[1].

W pierwszym przypadku jądrem φ {\displaystyle \varphi } może być wielomian zerowy[1]. Oznacza to, że żaden inny wielomian nie znika dla elementu a . {\displaystyle a.} Element ten, nie będąc pierwiastkiem żadnego niezerowego wielominanu, określa się jako przestępny[3]. Homomorfizm φ {\displaystyle \varphi } będzie wtedy zanurzeniem[1]. Wskazuje się wtedy izomorfizm pomiędzy zbiorem f ( a ) {\displaystyle f(a)} a K x {\displaystyle K[x]} i podobnie między zbiorem ilorazów elementów tego zbioru z K ( x ) . {\displaystyle K(x).} Dowodzi się w takim wypadku, że K ( a ) {\displaystyle K(a)} jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych od x , {\displaystyle x,} co wskazuje na nieskończenie liczną bazę rozszerzenia ( K ( a ) : K ) {\displaystyle (K(a):K)} [1].

W drugim przypadku jądrem φ {\displaystyle \varphi } będzie ideał generowany przez pewien wielomian nierozkładalny f , {\displaystyle f,} taki, że a {\displaystyle a} stanowi jego pierwiastek[1]. Taki element rozszerzenia, będący pierwiastkiem niezerowego wielomianu z pierścienia K x , {\displaystyle K[x],} nazywa się elementem algebraicznym nad tym ciałem[3]. Wobec powyższego każdy wielomian g {\displaystyle g} wzięty z K x , {\displaystyle K[x],} jeśli znika po podstawieniu a {\displaystyle a} za x , {\displaystyle x,} to należy do jądra φ . {\displaystyle \varphi .} Z uwagi na właściwości tegoż jądra musi więc być wielokrotnością f . {\displaystyle f.} Czyni to ten ostatni jedynym nierozkładalnym wielomianem przyjmującym dla x {\displaystyle x} wartość 0 {\displaystyle 0} [1]. W dalszych rozważaniach korzysta się z twierdzenia o izomorfizmie. Wynika z niego, że izomorficzne w stosunku do siebie są dwa pierścienie, z których pierwszy to φ ( K x ) , {\displaystyle \varphi (K[x]),} a drugi to pierścień ilorazowy K x {\displaystyle K[x]} przez ( f ) . {\displaystyle (f).} Jako że ( f ) {\displaystyle (f)} oznacza tutaj ideał maksymalny generowany przez f , {\displaystyle f,} drugi pierścień jest ciałem. Wobec izomorfizmu oba pierścienie to ciała. Pamiętając, że φ {\displaystyle \varphi } przyporządkowuje wielomianowi z K x {\displaystyle K[x]} jego wartość dla a , {\displaystyle a,} dochodzi się do wniosku, że φ ( K x ) = K ( a ) {\displaystyle \varphi (K[x])=K(a)} [3].

Więcej informacji na temat ciała K ( a ) {\displaystyle K(a)} otrzymać można, przedstawiając dowolny wielomian g {\displaystyle g} należący do K x {\displaystyle K[x]} w postaci g ( x ) = h ( x ) f ( x ) + r ( x ) , {\displaystyle g(x)=h(x)\cdot f(x)+r(x),} gdzie h {\displaystyle h} stanowi iloraz z dzielenia g {\displaystyle g} przez f , {\displaystyle f,} a r {\displaystyle r} stanowi resztę z tego dzielenia (i dlatego stopień wielomianu r {\displaystyle r} winien być mniejszy od stopnia f {\displaystyle f} ). Po podstawieniu a {\displaystyle a} w miejsce x {\displaystyle x} okazuje się, że h ( a ) f ( a ) {\displaystyle h(a)\cdot f(a)} się zeruje i g ( a ) = r ( a ) . {\displaystyle g(a)=r(a).} Wobec tego K ( a ) = { r K x } , {\displaystyle K(a)=\{r\in K[x]\},} pamiętając o warunku nałożonym na stopień r . {\displaystyle r.} Można wykazać jednoznaczność przedstawienia elementów K ( a ) {\displaystyle K(a)} poprzez r ( a ) . {\displaystyle r(a).} Oznacza to, że każdy element należący do K ( a ) {\displaystyle K(a)} stanowi kombinację liniową elementów tworzonych poprzez podnoszenie a {\displaystyle a} do potęg od 0 {\displaystyle 0} do o 1 {\displaystyle 1} mniejszej od stopnia f . {\displaystyle f.} Wobec tego zbiór tych potęg elementu a {\displaystyle a} stanowić będzie bazę dokonanego rozszerzenia. Ma ona dokładnie tyle elementów, ile wynosił stopień f {\displaystyle f} [3].

Z przeanalizowanych przypadków wynika, że w przypadku rozszerzenia ciała K {\displaystyle K} o element algebraiczny nad tym ciałem a {\displaystyle a} zawsze ( K ( a ) : K ) {\displaystyle (K(a):K)} jest liczbą skończoną. Liczbę tę określa się jako stopień elementu a {\displaystyle a} względem ciała K {\displaystyle K} [3]. Stopień ten w przeanalizowanym przypadku równa się stopniowi rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu f , {\displaystyle f,} który przyjmuje wartość 0 {\displaystyle 0} po podstawieniu doń tego elementu i zwany jest sam wielomianem minimalnym dla tegoż elementu[4].

Powyższe rozważania można rozszerzyć na dowolną liczbę elementów z L . {\displaystyle L.} Dla elementów algebraicznych nad K {\displaystyle K} od a 1 {\displaystyle a_{1}} do a n {\displaystyle a_{n}} K ( a 1 , . . . , a n ) = { g ( a 1 , . . . , a n ) : g K x 1 , . . . , x n } {\displaystyle K(a_{1},...,a_{n})=\{g(a_{1},...,a_{n}):g\in K[x_{1},...,x_{n}]\}} i ( K ( a 1 , . . . , a n ) : K ) {\displaystyle (K(a_{1},...,a_{n}):K)} również jest liczbą skończoną[5].

Jeżeli więc dla danego ciała L , {\displaystyle L,} które stanowi rozszerzenie ciała K , {\displaystyle K,} dla dowolnego jego elementu a L {\displaystyle a\in L} zachodzi druga opisana sytuacja, to znaczy każdy element rzeczonego rozszerzenia jest algebraiczny nad K , {\displaystyle K,} a żaden nie jest przestępny, to wtedy L {\displaystyle L} stanowi rozszerzenie algebraiczne K {\displaystyle K} [5].

Jak wynika z powyższych rozważań, rozszerzenie algebraiczne jest skończone. Prawdą jest także implikacja w drugą stronę: mianowicie każde rozszerzenie skończone ciała jest zarazem algebraiczne. Jeśli bowiem ( L : K ) {\displaystyle (L:K)} jest skończone, to dla każdego elementu a {\displaystyle a} wziętego z L {\displaystyle L} rozszerzenie K ( a ) {\displaystyle K(a)} będzie podciałem L . {\displaystyle L.} Wobec tego ( K ( a ) : K ) {\displaystyle (K(a):K)} nie będzie mogło być większe od ( K : L ) , {\displaystyle (K:L),} które przyjmuje skończoną wartość. W efekcie ( K ( a ) : K ) {\displaystyle (K(a):K)} także będzie miało wartość skończoną. Wobec tego rozszerzenie to będzie podpadać pod drugi z rozważanych przykładów i element a {\displaystyle a} będzie algebraiczny nad tym ciałem. Jako że tyczy się to dowolnego elementu wybranego z ciała L , {\displaystyle L,} rozszerzenie musi więc być algebraiczne[5].

Przypisy | edytuj kod

  1. a b c d e f g h Browkin 1977 ↓, s. 69.
  2. Browkin 1977 ↓, s. 52.
  3. a b c d e Browkin 1977 ↓, s. 70.
  4. Browkin 1977 ↓, s. 70–71.
  5. a b c Browkin 1977 ↓, s. 71.

Bibliografia | edytuj kod

  • JerzyJ. Browkin JerzyJ., Teoria ciał, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977  (pol.).
Na podstawie artykułu: "Rozszerzenie algebraiczne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy