Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych


Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych: (a) rozszerzenie dwupunktowe (afiniczne), (b) rozszerzenie jednopunktowe (rzutowe); kolorem czerwonym określono liczby dodatnie, niebieskim – ujemne, żółtym – dodane „punkty nieskończone”

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb rzeczywistych z dołączonym jednym lub dwoma „elementami nieskończonymi”, pierwsze z tych rozszerzeń nazywane jest jednopunktowym bądź rzutowym, drugie z kolei dwupunktowym lub afinicznym.

Rozszerzony na jeden ze wspomnianych sposobów zbiór liczb rzeczywistych staje się zwartą przestrzenią topologiczną (rozszerzenia dają różne topologie), co znajduje zastosowanie przede wszystkim w analizie matematycznej i teorii miary. Przede wszystkim pozwala na rozszerzenie niektórych funkcji na cały zbiór liczb rzeczywistych, przy czym niektóre z nich, dotąd nieciągłe, mogą być wtedy uważane za ciągłe (zob. niżej) oraz co ułatwia spójne traktowanie różnych przypadków, upraszczając w ten sposób sformułowania twierdzeń i dowodów. Niepełnemu rozszerzeniu podlegają również niektóre działania (operacje) na „elementy nieskończone” – niepełnemu, gdyż dołączane elementy nie mogą być uważane za liczby, a rozszerzone zbiory liczb rzeczywistych nie są ciałami liczbowymi.

Spis treści

Rozszerzenie afiniczne | edytuj kod

Zbiór liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } rozszerzony o dwa „punkty nieskończone” {\displaystyle -\infty } i + {\displaystyle +\infty } oznacza się zwykle symbolami R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} lub , + {\displaystyle [-\infty ,+\infty ]} i nazywa rozszerzeniem dwupunktowym bądź afinicznym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej). Niżej symbol ± {\displaystyle \pm \infty } będzie oznaczał dowolne z wyrażeń + {\displaystyle +\infty } bądź , {\displaystyle -\infty ,} w szczególności w tejże kolejności, gdy stosowany jest symbol {\displaystyle \mp \infty } w którym kolejność symboli jest odwrotna (wykorzystane razem symbole te powinny być wtedy uważane za różnych znaków). Często dla skrócenia zapisu symbol + {\displaystyle +\infty } zastępuje się symbolem , {\displaystyle \infty ,} należy jednak zaznaczyć, iż różni się on istotnie od symbolu {\displaystyle \infty } opisanego dalej. Rozszerzenie afiniczne prostej nie jest przestrzenią afiniczną.

Rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych jest podstawą implementacji komputerowych systemów przekształcania wyrażeń i obliczeń symbolicznych.

Porządek i topologia | edytuj kod

W zbiorze R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} zachowana zostaje relacja porządku liniowego, a dla dowolnego elementu a R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } zachodzi < a < + . {\displaystyle -\infty <a<+\infty .} Ponadto każdy podzbiór tego zbioru, w przeciwieństwie do R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} ma kres dolny i górny, co sprawia, że rozszerzony afinicznie zbiór liczb rzeczywistych staje się kratą zupełną.

Topologia wprowadzona przez relacje porządkującą < {\displaystyle <} w zbiorze R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} pozwala w szczególności na określenie otoczeń punktów w nieskończoności:

zbiór U {\displaystyle U} jest otoczeniem punktu + {\displaystyle +\infty } wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór { x : a < x } {\displaystyle \{x\colon a<x\}} dla pewnej liczby a R . {\displaystyle a\in \mathbb {R} .}

Analogicznie

zbiór V {\displaystyle V} nazywa się otoczeniem punktu {\displaystyle -\infty } wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on zbiór { x : x < a } {\displaystyle \{x\colon x<a\}} dla pewnej liczby a R . {\displaystyle a\in \mathbb {R} .}

Wspomniana topologia sprawia, że R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} jest zwartą przestrzenią Hausdorffa homeomorficzną z domkniętym przedziałem jednostkowym 0 , 1 . {\displaystyle [0,1].} Wspomniana przestrzeń jest metryzowalna.

Działania arytmetyczne | edytuj kod

Działania arytmetyczne w zbiorze R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} rozszerza się w następujący sposób:

( + ) = , {\displaystyle -(+\infty )=-\infty ,} ( ) = + , {\displaystyle -(-\infty )=+\infty ,} c + ( + ) = + + c = + {\displaystyle c+(+\infty )=+\infty +c=+\infty } dla c , {\displaystyle c\neq -\infty ,} c + ( ) = + c = {\displaystyle c+(-\infty )=-\infty +c=-\infty } dla c + , {\displaystyle c\neq +\infty ,} c ( ± ) = ± c = ± {\displaystyle c\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot c=\pm \infty } dla c > 0 , {\displaystyle c>0,} c ( ± ) = ± c = {\displaystyle c\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot c=\mp \infty } dla c < 0 , {\displaystyle c<0,} c ± = 0 {\displaystyle {\tfrac {c}{\pm \infty }}=0} dla c ± , {\displaystyle c\neq \pm \infty ,} | c 0 | = + {\displaystyle |{\tfrac {c}{0}}|=+\infty } dla c 0. {\displaystyle c\neq 0.}

Uzasadnieniem tych definicji są odpowiednie przejścia graniczne. Wyrażenia + ( + ) , + + ( ) {\displaystyle -\infty +(+\infty ),\;+\infty +(-\infty )} oraz 0 / 0 {\displaystyle 0/0} pozostają niezdefiniowane, podobnie jak 0 ( ± ) {\displaystyle 0\cdot (\pm \infty )} i ( ± ) 0 {\displaystyle (\pm \infty )\cdot 0} (patrz symbol nieoznaczony), choć dwa ostatnie wyrażenia w teorii miary (oraz korzystającej z niej teorii prawdopodobieństwa) definiowane są jako równe 0.

Prawdziwe pozostają prawa działań arytmetycznych, pod warunkiem jednak, że wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone. To ostatnie zastrzeżenie sprawia, że zbiór R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} nie jest ciałem ani nawet pierścieniem.

Funkcje, granice, ciągłość | edytuj kod

Na zbiór R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} można rozszerzyć wiele funkcji. Przykładem może być funkcję potęgową f ( x , y ) = x y , {\displaystyle f(x,y)=x^{y},} gdzie korzystając z odpowiednich granic, przyjmuje się następujące definicje:

( + ) y = { 0  dla  y < 0 , +  dla  y > 0 , x + = { 0  dla  0 < x < 1 , +  dla  x > 1 , x = { +  dla  0 < x < 1 , 0  dla  x > 1. {\displaystyle {\begin{aligned}(+\infty )^{y}&={\begin{cases}0&{\text{ dla }}y<0,\\{+\infty }&{\text{ dla }}y>0,\end{cases}}\\[.5em]x^{+\infty }&={\begin{cases}0&{\text{ dla }}0<x<1,\\{+\infty }&{\text{ dla }}x>1,\end{cases}}\\[.5em]x^{-\infty }&={\begin{cases}+\infty &{\text{ dla }}0<x<1,\\0&{\text{ dla }}x>1.\end{cases}}\end{aligned}}}

W podobny sposób można rozszerzać wiele innych funkcji (zwykle nawet do funkcji ciągłych), np. funkcję wykładniczą exp , {\displaystyle \exp ,} logarytmiczną ln , {\displaystyle \ln ,} czy tangens tg {\displaystyle \operatorname {tg} } itp., co upraszcza dowody wielu twierdzeń i stanowi główną motywację dla rozpatrywania rozszerzeń zbioru liczb rzeczywistych.

Rozszerzenie rzutowe | edytuj kod

Rzeczywista prosta rzutowa może być postrzegana jako prosta, której „końce” łączą się w nieskończoności, tworząc okrąg.

Zbiór liczb rzeczywistych z dodanym jednym „punktem w nieskończoności” {\displaystyle \infty } (bez znaku) nazywane jest rozszerzeniem jednopunktowym bądź rzutowym liczb rzeczywistych (prostej rzeczywistej) i oznaczane jest najczęściej symbolem R . {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.} Uzwarcenie to jest minimalne i nosi ono nazwę uzwarcenia Aleksandrowa. Rozszerzenie to jest prostą rzutową (jednowymiarową przestrzenią rzutową), gdyż jego punkty są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z jednowymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi płaszczyzny R 2 ; {\displaystyle \mathbb {R} ^{2};} z tego powodu konstrukcję tę nazywa się też rzeczywistą prostą rzutową i oznacza R P 1 . {\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{1}.}

Symbol {\displaystyle \infty } reprezentuje „punkt w nieskończoności”, w którym zbiegają się oba „końce” rzeczywistej osi liczbowej. Analogiem zespolonym tego rozszerzenia jest konstrukcja sfery Riemanna rozszerzającej zbiór liczb zespolonych przez uzupełnienie jej pojedynczym punktem w nieskończoności, którą nazywa się również zespoloną prostą rzutową i oznacza C P 1 . {\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}.}

Geometria | edytuj kod

Oprócz faktu, iż {\displaystyle \infty } jest pełnoprawnym punktem tej przestrzeni, kluczową ideą rzeczywistej prostej rzutowej jest to, że jest ona przestrzenią jednorodną homeomorficzną z okręgiem. Przykładowo ogólna grupa liniowa odwracalnych macierzy typu 2×2 działa na niej przechodnio. Działanie grupy można opisać również za pomocą przekształceń Möbiusa, w których argumenty zerujące się w mianowniku przyjmują w obrazie . {\displaystyle \infty .}

Dokładniejsze przyjrzenie się temu działaniu pokazuje, że dla dowolnych trzech punktów P , Q , R {\displaystyle P,Q,R} istnieje przekształcenie homograficzne odwzorowujące te punkty odpowiednio na 0 , 1 , . {\displaystyle 0,1,\infty .} Obserwacji tej nie można rozszerzyć na czwórki punktów z powodu niezmienniczości dwustosunku.

Porządek i topologia | edytuj kod

Zbiór R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} jest homeomorficzny z okręgiem (por. rysunek), dlatego niemożliwe jest rozszerzenie relacji porządku na cały zbiór R , {\displaystyle \mathbb {R} ^{*},} tzn. dla dowolnego x R {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}} nie można powiedzieć ani, że x < , {\displaystyle x<\infty ,} ani też że x > . {\displaystyle x>\infty .} Jednak relacja porządku < {\displaystyle <} w zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} } jest stosowana w niektórych definicjach obiektów w zbiorze R . {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}

Pojęcie przedziału można rozszerzyć na zbiór R , {\displaystyle \mathbb {R} ^{*},} jednak ponieważ relacja porządku nie obejmuje punktu , {\displaystyle \infty ,} to przedziały muszą być zdefiniowane w nieco inny sposób niż w zbiorze liczb rzeczywistych R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Dla dowolnych a , b R , {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,} przy czym a < b , {\displaystyle a<b,} przyjmuje się następujące definicje przedziałów domkniętych:

a , a = { a } , {\displaystyle [a,a]=\{a\},} a , b = { x : x R , ; a x b } , {\displaystyle [a,b]=\{x\colon x\in \mathbb {R} ,;a\leqslant x\leqslant b\},} a , = { x : x R , a x } { } , {\displaystyle [a,\infty ]=\{x\colon x\in R,\;a\leqslant x\}\cup \{\infty \},} b , a = { x : x R , ; b x } { } { x : x R , x a } , {\displaystyle [b,a]=\{x\colon x\in \mathbb {R} ,;b\leqslant x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\colon x\in \mathbb {R} ,\;x\leqslant a\},} , a = { } { x : x R , x a } , {\displaystyle [\infty ,a]=\{\infty \}\cup \{x\colon x\in \mathbb {R} ,\;x\leqslant a\},} , = { } . {\displaystyle [\infty ,\infty ]=\{\infty \}.}

Analogicznie definiuje się przedziały otwartych i półotwartych. Na przedziałach można także określić operacje arytmetyczne – w szczególności dla każdych dwóch punktów a , b R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{*}} można przyjąć

x a , b 1 x 1 b , 1 a {\displaystyle x\in [a,b]\Leftrightarrow {\tfrac {1}{x}}\in \left[{\tfrac {1}{b}},{\tfrac {1}{a}}\right]}

nawet wtedy, gdy przedziały zawierają 0.

Przedziały otwarte stanowią bazę topologii zbioru R . {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.} W topologii tej zbiór R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} jest przestrzenią zwartą, homeomorficzną z okręgiem. Jest to zatem przestrzeń metryzowalna, a odpowiednie metryki odpowiadają metrykom okręgu. Nie istnieje w R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} taka metryka, która byłaby rozszerzeniem standardowej metryki zbioru R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} tzn. metryki euklidesowej.

Działania arytmetyczne | edytuj kod

Rozszerzenie operacji arytmetycznych na cały zbiór R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} można przeprowadzić tylko dla niektórych z nich – są one umotywowane odpowiednimi własnościami granic funkcji rzeczywistych:

( ) = , {\displaystyle -(\infty )=\infty ,} c + = + c = {\displaystyle c+\infty =\infty +c=\infty } dla c , {\displaystyle c\neq \infty ,} c = c = {\displaystyle c\cdot \infty =\infty \cdot c=\infty } dla c 0 , {\displaystyle c\neq 0,} c = 0 {\displaystyle {\tfrac {c}{\infty }}=0} dla c , {\displaystyle c\neq \infty ,} c 0 = {\displaystyle {\tfrac {c}{0}}=\infty } dla c 0. {\displaystyle c\neq 0.}

Należy zaznaczyć, że ostatnia operacja jest nieokreślona w zbiorze R ¯ . {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}

Działania / , 0 / 0 , + {\displaystyle \infty /\infty ,\;0/0,\;\infty +\infty } oraz 0 {\displaystyle 0\cdot \infty } są w zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} nieokreślone. Prawa działań arytmetycznych pozostają prawdziwe w zbiorze R , {\displaystyle \mathbb {R} ^{*},} o ile wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone.

Funkcje, granice, ciągłość | edytuj kod

Opierając się na rozszerzonych w opisany wyżej sposób definicjach przedziałów, można określić pojęcia granicy i ciągłości funkcji na całym zbiorze R . {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}

W zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} funkcje wykładnicza exp {\displaystyle \exp } i logarytmiczna ln {\displaystyle \ln } są nieciągłe w punkcie , {\displaystyle \infty ,} natomiast można wykazać, że funkcje wymierne P ( x ) / Q ( x ) , {\displaystyle P(x)/Q(x),} gdzie P ( x ) {\displaystyle P(x)} i Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} funkcjami wielomianowymi niemającymi wspólnego czynnika, są ciągłe w zbiorze R , {\displaystyle \mathbb {R} ^{*},} w szczególności ciągła jest funkcja homograficzna h ( x ) = 1 / x , {\displaystyle h(x)=1/x,} podobnie ciągła jest funkcja tangensa tg , {\displaystyle \operatorname {tg} ,} jeżeli przyjąć definicję:

tg ( π 2 + k π ) = . {\displaystyle \operatorname {tg} \left({\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \right)=\infty .}

Porównanie | edytuj kod

Funkcja homograficzna h ( x ) = 1 / x {\displaystyle h(x)=1/x} nie jest ciągła w zbiorze R ¯ , {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }},} gdyż jej wartości dążą do + {\displaystyle +\infty } dla x 0 + , {\displaystyle x\to 0^{+},} podczas gdy x 0 , {\displaystyle x\to 0^{-},} to dążą one do . {\displaystyle -\infty .} Utożsamiając w zbiorze R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} symbole + {\displaystyle +\infty } oraz , {\displaystyle -\infty ,} uzyskuje się zbiór R . {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.} W ten sposób funkcja h ( x ) {\displaystyle h(x)} może być uznana za ciągłą w całym zbiorze R . {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.} Podobna sytuacja dotyczy wszystkich funkcji wymiernych. Z drugiej strony wyrażenia

L 1 = lim x   f ( x ) {\displaystyle L_{1}=\lim _{x\to -\infty }~f(x)}

oraz

L 2 = lim x +   f ( x ) {\displaystyle L_{2}=\lim _{x\to +\infty }~f(x)}

w zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}} są w istocie jedynie granicami jednostronnymi, zaś granica funkcji f ( x ) {\displaystyle f(x)} w punkcie x = {\displaystyle x=\infty } istnieje tylko wtedy, gdy L 1 = L 2 . {\displaystyle L_{1}=L_{2}.} W zbiorze R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} każde z nich musi być uważane za granicę rozważaną w innym punkcie. Z tego powodu funkcje takie, jak exp , {\displaystyle \exp ,} czy arctg {\displaystyle \operatorname {arctg} } można uznać za funkcje ciągłe na całym zbiorze R ¯ , {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }},} nie można ich natomiast określić w sposób ciągły na całym zbiorze R . {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy