Silnia


Silnia w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n . {\displaystyle n.} Oznaczenie n ! {\displaystyle n!} dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp. Zapis n ! , {\displaystyle n!,} 2 ! {\displaystyle 2!} itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiające się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać k ! {\displaystyle k!} ) przez geometrię n {\displaystyle n} -wymiarową (np. stosunek miary n {\displaystyle n} -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy n ! {\displaystyle n!} ), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru n {\displaystyle n} -elementowego jest równa n ! {\displaystyle n!} ).

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585[1].

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

Funkcję ! : N 0 N + {\displaystyle \cdot \;!\colon \mathbb {N} _{0}\to \mathbb {N} _{+}} definiuje się następująco:

n ! = k = 1 n k dla  n 1. {\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{dla }}n\geqslant 1.}

Wartość 0! określa się osobno:[2]

0 ! = 1. {\displaystyle 0!=1.}

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

n ! = { 1  dla  n = 0 n ( n 1 ) !  dla  n 1 {\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]n\cdot (n-1)!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}}

Przykłady:

4 ! = 1 2 3 4 = 24 {\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24} 5 ! = 1 2 3 4 5 = 120 {\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120} 6 ! = 1 2 3 4 5 6 = 720 {\displaystyle 6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720}

Wzór Stirlinga | edytuj kod

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

n ! 2 π n ( n e ) n . {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

ln n ! n ln n n + 1 2 ln ( 2 π n ) . {\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n).}

Przydatne jest również oszacowanie:

n ! = o ( n n ) . {\displaystyle n!=o(n^{n}).}

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

n ! = 2 π n ( n e ) n e α n , {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\alpha _{n}},}

gdzie:

1 12 n + 1 α n 1 12 n . {\displaystyle {\frac {1}{12n+1}}\leqslant \alpha _{n}\leqslant {\frac {1}{12n}}.}

Funkcja gamma | edytuj kod

 Osobny artykuł: Funkcja Γ.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).}

Ponieważ Γ ( 1 ) = 1 , {\displaystyle \Gamma (1)=1,} więc z powyższego wynika

Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}

dla wszystkich liczb naturalnych n . {\displaystyle n.}

Funkcja Γ {\displaystyle \Gamma } jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia podwójna n ! ! {\displaystyle n!!} | edytuj kod

Silnią podwójną liczby naturalnej n {\displaystyle n} określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do n . {\displaystyle n.} Silnię podwójną oznacza się n ! ! . {\displaystyle n!!.}

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

n ! ! = { 1  dla  n = 0  lub  n = 1 n ( n 2 ) ! !  dla  n 2 {\displaystyle n!!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0{\mbox{ lub }}n=1\\[2pt]n\cdot (n-2)!!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}}

Przykład:

8 ! ! = 2 4 6 8 = 384 {\displaystyle 8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384} 9 ! ! = 1 3 5 7 9 = 945 {\displaystyle 9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945}

Własności podwójnej silni:

n ! = n ! ! ( n 1 ) ! ! {\displaystyle n!=n!!(n-1)!!} ( 2 n ) ! ! = 2 n n ! {\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!} ( 2 n + 1 ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ! 2 n n ! {\displaystyle (2n+1)!!={\frac {(2n+1)!}{(2n)!!}}={\frac {(2n+1)!}{2^{n}n!}}}

zależność od funkcji gamma:

Γ ( n + 1 2 ) = π ( 2 n 1 ) ! ! 2 n , {\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},} więc: Γ ( n + 1 2 ) ( 2 n π ) = ( 2 n 1 ) ! ! {\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\right)=(2n-1)!!}

Silnia wielokrotna | edytuj kod

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną n ! ! ! {\displaystyle n!!!} oraz ogólnie silnie k {\displaystyle k} -tą, którą oznaczamy jako n ! ( k ) . {\displaystyle n!^{(k)}.} Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

n ! ( k ) = { 1  gdy  n = 0 n  gdy  0 < n k n ( n k ) ! ( k )  gdy  n > k {\displaystyle n!^{(k)}={\begin{cases}1&{\mbox{ gdy }}n=0\\[2pt]n&{\mbox{ gdy }}0<n\leqslant k\\[2pt]n\cdot (n-k)!^{(k)}&{\mbox{ gdy }}n>k\end{cases}}}

Rozkład silni na czynniki pierwsze | edytuj kod

Lemat | edytuj kod

Jeżeli liczba n ! {\displaystyle n!} rozkłada się na czynniki pierwsze:

n ! = i = 1 k p i α i = p 1 α 1 p 2 α 2 p k α k , {\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}},}

to

ord p i ( n ! ) = j = 1 log p i n n p i j , {\displaystyle {\mbox{ord}}_{p_{i}}(n!)=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,}

tzn. liczba pierwsza p i {\displaystyle p_{i}} pojawia się z wykładnikiem:

α i = j = 1 log p i n n p i j , {\displaystyle \alpha _{i}=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,}

gdzie x {\displaystyle \lfloor x\rfloor } oznacza część całkowitą liczby x . {\displaystyle x.}

Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silni | edytuj kod

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym n ! , {\displaystyle n!,} przy czym n {\displaystyle n} jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

f ( n ) = i = 1 k n 5 i = n 5 1 + n 5 2 + n 5 3 + + n 5 k , {\displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5^{1}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,}

gdzie k {\displaystyle k} musi spełniać warunek

5 k n < 5 k + 1 . {\displaystyle 5^{k}\leqslant n<5^{k+1}.}

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

26 5 + 26 5 2 = 5 + 1 = 6 {\displaystyle \left\lfloor {\frac {26}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26}{5^{2}}}\right\rfloor =5+1=6} zerami.

Jeżeli n < 5 , {\displaystyle n<5,} nierówności są spełnione przez k = 0 ; {\displaystyle k=0;} w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Przypisy | edytuj kod

  1. Factorion (ang.). mathworld.wolfram.com. [dostęp 2017-05-25].
  2. Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0 .

Bibliografia | edytuj kod

  • Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Silnia" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy