Skończenie generowana grupa przemienna


Skończenie generowana grupa przemienna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Skończenie generowana grupa przemiennagrupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.

Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech ( G , + ) {\displaystyle (G,+)} będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów x 1 , , x s G , {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}\in G,} że każdy x G {\displaystyle x\in G} może być zapisany jako

x = n 1 x 1 + n 2 x 2 + n s x s , {\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots n_{s}x_{s},}

gdzie n 1 , , n s {\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}} całkowite. Wtedy mówi się, że zbiór { x 1 , , x s } {\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}} jest zbiorem generującym (generatorów) G {\displaystyle G} lub że x 1 , , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} generują G . {\displaystyle G.}

Przykłady | edytuj kod

  • Liczby całkowite ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} są skończenie generowaną grupą abelową,
  • liczby całkowite modulo n Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
  • dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną

Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.

  • Grupa ( Q , + ) {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)} liczb wymiernych nie jest skończenie generowana: niech x 1 , , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} będą liczbami wymiernymi, a w {\displaystyle w} liczbą naturalną względnie pierwszą z mianownikami liczb x 1 , , x s , {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s},} wtedy przedstawienie elementu 1 w {\displaystyle {\tfrac {1}{w}}} za pomocą x 1 , , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} okazuje się niemożliwe.

Klasyfikacja | edytuj kod

Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (Frobenius i Stickelberger, 1878), będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych (twierdzenia Frobeniusa o równoważności macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych)[1], może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.). Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w informatyce: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być wykonywane równolegle (tzn. niezależnie od siebie).

Rozkład na czynniki pierwsze | edytuj kod

 Zobacz też: rozkład na czynnikiczynnik pierwszy.

Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa G {\displaystyle G} jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędach będącymi potęgami liczb pierwszych oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci

Z n Z q 1 Z q t , {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{q_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{q_{t}},}

gdzie n 0 , {\displaystyle n\geqslant 0,} a liczby q 1 , , q t {\displaystyle q_{1},\dots ,q_{t}} są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności G {\displaystyle G} jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy n = 0. {\displaystyle n=0.} Wartości n , q 1 , , q t {\displaystyle n,q_{1},\dots ,q_{t}} są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez G . {\displaystyle G.}

Rozkład na czynniki niezmiennicze | edytuj kod

Dowolna skończenie generowana grupa przemienna G {\displaystyle G} może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci

Z n Z k 1 Z k u , {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}},}

gdzie k 1 {\displaystyle k_{1}} dzieli k 2 , {\displaystyle k_{2},} które dzieli k 3 {\displaystyle k_{3}} i tak dalej, aż do k u . {\displaystyle k_{u}.} Znowu, liczby n , k 1 , , k u {\displaystyle n,k_{1},\dots ,k_{u}} są jednoznacznie wyznaczone przez G {\displaystyle G} (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi, tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba n {\displaystyle n} jest równa randze grupy abelowej.

Równoważność | edytuj kod

Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że Z m {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}} jest izomorficzna z iloczynem prostym Z j {\displaystyle \mathbb {Z} _{j}} przez Z k {\displaystyle \mathbb {Z} _{k}} wtedy i tylko wtedy, gdy j {\displaystyle j} oraz k {\displaystyle k} względnie pierwsze i m = j k . {\displaystyle m=jk.}

Wnioski | edytuj kod

Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną G . {\displaystyle G.} Ranga G {\displaystyle G} jest określona jako ranga beztorsyjnej części G ; {\displaystyle G;} tzn. jest to liczba n {\displaystyle n} w powyższych wzorach.

Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: Q {\displaystyle \mathbb {Q} } jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.

Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre’a kategorii grup abelowych.

Nieskończenie generowane grupy przemienne | edytuj kod

Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi Q {\displaystyle \mathbb {Q} } jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy Z 2 . {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. L. Fuchs, Infinite abelian groups, Academic Press 1970, tw. III.15.2.
Na podstawie artykułu: "Skończenie generowana grupa przemienna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy