Specjalna grupa unitarna


Specjalna grupa unitarna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Specjalna grupa unitarna stopnia n {\displaystyle n} oznaczana symbolem S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} jest grupą Liego specjalnych macierzy unitarnych U {\displaystyle U} o wyznaczniku równym 1. (Macierze unitarne mają w ogólności wyznacznik zespolony postaci e i ϕ , {\displaystyle e^{i\phi },} czyli liczbę o module 1).

Istnieją różne reprezentacje danej grupy S U ( n ) , {\displaystyle SU(n),} tworzone przez specjalne macierze unitarne tego samego wymiaru. Przy czym:

(1) Reprezentacja fundamentalna grupy S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} składa się z macierzy wymiaru n × n . {\displaystyle n\times n.}

(2) Inne reprezentacje grupy S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} składają się z macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego lub większego niż n , {\displaystyle n,} jednakże ich generatory muszą spełniać te same relacje komutacyjne, jak generatory reprezentacji fundamentalnej (dokładniej objaśniono to dalej).

Działaniem w grupie macierzy (dla danej reprezentacji) jest mnożenie macierzy przez siebie, elementem neutralnym mnożenia jest macierz jednostkowa (dla reprezentacji fundamentalnej jest to macierz n × n {\displaystyle n\times n} ). Liczba parametrów opisująca macierze grupy S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} – niezależnie od reprezentacji – wynosi n 2 1. {\displaystyle n^{2}-1.} Każdą specjalną macierz unitarną grupy S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} dowolnego wymiaru można bowiem przedstawić za pomocą eksponenty zależnej od najwyżej n 2 1 {\displaystyle n^{2}-1} parametrów

U ( n , α ) = exp ( i a = 1 n 2 1 α a T a ) = e i α T , {\displaystyle U(n,{\vec {\alpha }})=\exp \left({i\sum _{a=1}^{n^{2}-1}\alpha _{a}T_{a}}\right)=e^{i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {T}}},}

gdzie:

α = ( a 1 , a 2 , , a n 2 1 ) {\displaystyle {\vec {\alpha }}=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n^{2}-1})} jest n 2 1 {\displaystyle n^{2}-1} wymiarowym wektorem parametrów rzeczywistych, T = ( T 1 , T 2 , , T n 2 1 ) {\displaystyle {\vec {T}}=(T_{1},T_{2},\dots ,T_{n^{2}-1})} jest wektorem liniowo niezależnych macierzy hermitowskich o śladzie równym zeru; macierze T a {\displaystyle T_{a}} nazywa się generatorami grupy S U ( n ) , {\displaystyle SU(n),}

przy czym wymiar generatorow macierzy wymiaru m {\displaystyle m} jest także równy m . {\displaystyle m.}

Grupę S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} definiują związki komutacji (omówiono to dalej), jakie istnieją pomiędzy generatorami jej reprezentacji fundamentalnej. Przy tym związki komutacyjne np. dla grupy S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} są inne niż dla S U ( 3 ) , {\displaystyle SU(3),} itd. Generatory reprezentacji fundamentalnej danej grupy S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} są macierzami wymiaru n × n {\displaystyle n\times n} (dla innych reprezentacji generatory są macierzami o mniejszym lub większym wymiarze niż n {\displaystyle n} ). Ponadto, istnieje wiele możliwych wyborów generatorów dla każdej reprezentacji, dlatego zwykle dodatkowo przyjmuje się warunek normalizacji, określający ślady kwadratów generatorów:

tr ( T a ) 2 = 1 2 . {\displaystyle {\text{tr}}[(T_{a})^{2}]={\tfrac {1}{2}}.}

Spis treści

Generatory algebry Liego su(n) grupy SU(n) | edytuj kod

Liczba generatorów | edytuj kod

Każda specjalna macierz unitarna U {\displaystyle U} wymiaru n × n {\displaystyle n\times n} może być przedstawiona w postaci

U ( n ) = e i H ( n ) , {\displaystyle U(n)=e^{iH(n)},}

gdzie:

H ( n ) {\displaystyle H(n)} macierz hermitowska wymiaru n × n {\displaystyle n\times n} bezśladowa (tzn. jej ślad jest równy 0), i {\displaystyle i} – jednostka urojona.

Ponadto, każdą macierz hermitowską bezśladową wymiaru n × n {\displaystyle n\times n} można wyrazić za pomocą n 2 1 {\displaystyle n^{2}-1} liniowo niezależnych, bezśladowych macierzy hermitowskich T a {\displaystyle T_{a}} wymiaru n × n , {\displaystyle n\times n,} tj.

H ( n ) = a = 1 n 2 1 α a T a , {\displaystyle H(n)=\sum _{a=1}^{n^{2}-1}{\alpha _{a}T_{a}},}

gdzie T a {\displaystyle T_{a}} nazwa się generatorami; generatory tworzą bazę algebry Liego s u ( n ) . {\displaystyle su(n).}

Dlaczego generatory są bezśladowe | edytuj kod

Macierze unitarne U {\displaystyle U} mają wyznacznik równy 1, co implikuje, że macierze T a {\displaystyle T_{a}} muszą być bezśladowe, gdyż:

det U = 1 oraz  {\displaystyle \det U=1\quad {\text{oraz }}} det U = det ( e H ) = e tr ( H ) , {\displaystyle \det U=\det(e^{H})=e^{\operatorname {tr} (H)},}

co implikuje tr ( H ) = 0. {\displaystyle \operatorname {tr} (H)=0.}

Związki komutacji. Stałe struktury | edytuj kod

Generatory są na ogół nieprzemienne – wyniki ich mnożenia tworzą tzw. reguły komutacji, tj. dla liczb a , b = 1 , 2 , , n {\displaystyle a,b=1,2,\dots ,n} komutatory są w postaci kombinacji liniowych

T a , T b = i c f a b c T c , {\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{c}\,f_{abc}T_{c},}

gdzie:

T a , T b = T a T b T b T a {\displaystyle [T^{a},T^{b}]=T^{a}T^{b}-T^{b}T^{a}} – komutator, f a b c , a , b , c = 1 , 2 , , n {\displaystyle f_{abc},a,b,c=1,2,\dots ,n} – tzw. stałe struktury grupy.

Relacje komutacji (lub równoważnie: stałe struktury) definiują algebrę Liego s u ( n ) {\displaystyle su(n)} danej grupy S U ( n ) . {\displaystyle SU(n).}

Wybór generatorów nie jest unikalny; np. z danego zbioru generatorów można otrzymać inny zbiór generatorów za pomocą transformacji podobieństwa, ponieważ transformacja ta nie zmienia komutatorów.

Przy czym macierz B {\displaystyle B'} nazywa się podobną do macierzy B , {\displaystyle B,} jeżeli

B = U B U , {\displaystyle B'=U^{\dagger }BU,}

gdzie U {\displaystyle U} jest macierz unitarną, zaś U {\displaystyle U^{\dagger }} jest jej sprzężeniem hermitowskim.

Ponadto, te same reguły komutacji mogą spełniać macierze innego wymiaru niż dany wymiar n . {\displaystyle n.} Macierze te są generatorami reprezentacji niefundamentalnych tej samej grupy S U ( n ) . {\displaystyle SU(n).}

Reprezentacja fundamentalna grupy | edytuj kod

Grupę S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} definiuje więc

  • postać generatorów reprezentacji fundamentalnej (zwanej także definiującą), tj. postać generatorów reprezentowanych przez macierze wymiaru n × n {\displaystyle n\times n} albo
  • wartości numeryczne stałych struktury f a b c . {\displaystyle f_{abc}.}

Są to metody równoważne: znając jawną postać generatorów reprezentacji fundamentalnej można wyliczyć stałe struktury i odwrotnie, znając stałe struktury można obliczyć jawną postać generatorów nie tylko w reprezentacji fundamentalnej, ale w dowolnej reprezentacji grupy S U ( n ) . {\displaystyle SU(n).}

Inne reprezentacje grupy SU(n) | edytuj kod

Inne reprezentacje grupy S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} otrzymuje się za pomocą generatorów, które są macierzami wymiaru innego niż n , {\displaystyle n,} tj. wymiaru 1 , 2 , , n + 1 , n + 2 , {\displaystyle 1,2,\dots ,n+1,n+2,\dots } przy czym warunkiem jest, by generatory spełniały te same warunki komutacyjne co generatory reprezentacji fundamentalnej.

Np. grupa S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} ma reprezentację fundamentalną zadaną przez macierze 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} (macierze Pauliego, które mnożone przez 1 / 2 {\displaystyle 1/2\hbar } definiują operatory spinu o liczbie spinowej s = 1 / 2 {\displaystyle s=1/2} ), jednak innymi reprezentacjami tej samej grupy są macierze wymiaru 2 s + 1 = 3 , 4 , 5 , , {\displaystyle 2s+1=3,4,5,\dots ,} odpowiadające liczbom spinowym s = 1 , 3 / 2 , 2 , {\displaystyle s=1,\,3/2,\,2,} itd.

Grupa SU(n) jako podgrupa. Izomorfizmy | edytuj kod

Specjalna grupa unitarna jest podgrupą grupy macierzy unitarnych U ( n ) , {\displaystyle U(n),} które zachowują iloczyn skalarny, definiowany w przestrzeniach zespolonych C n . {\displaystyle C^{n}.} Grupa U ( n ) {\displaystyle U(n)} jest z kolei podgrupą ogólnej grupy transformacji liniowych G L ( n , C ) {\displaystyle GL(n,{\mathbb {C} })} określonej nad ciałem liczb zespolonych.

Grupa S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} jest izomorficzna z grupą kwaternionów o normie 1 i dlatego dyfeomorficzna do 3-sfery. Ponieważ jednostkowe kwaterniony mogą reprezentować obroty w przestrzeni 3-wymiarowej (z dokładnością do znaku), to istnieje homeomorfizm z S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} do grupy obrotów S O ( 3 ) , {\displaystyle SO(3),} którego jądro jest + I , I . {\displaystyle [+I,-I].} Grupa S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} jest także identyczna z grupą symetrii spinorów S p i n ( 3 ) . {\displaystyle Spin(3).}

Zastosowania grup SU(n) | edytuj kod

Grupy S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} znalazły zastosowanie w sformułowaniu Modelu Standardowego cząstek elementarnych:

Topologia grupy SU(n) | edytuj kod

Specjalna grupa unitarna S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} jest rzeczywistą grupą Liego, tj. jest grupą ciągłą i rozmaitością różniczkową o wartościach rzeczywistych, mającą wymiar n 2 1. {\displaystyle n^{2}-1.} Topologicznie jest to rozmaitość zwarta.

Grupa SU(1) | edytuj kod

Grupa S U ( 1 ) {\displaystyle SU(1)} przedstawia grupę trywialną, posiadającą jeden element – jest nim macierz jednostkowa I = 1 . {\displaystyle I=[1].}

Grupa SU(2) | edytuj kod

Omawia to osobny artykuł Grupa SU(2).

Grupa SU(3) | edytuj kod

Topologia | edytuj kod

Grupa S U ( 3 ) {\displaystyle SU(3)} jest rozmaitość różniczkową wymiaru 8, jednospójną i zwartą; jako grupa jest grupą Liego.

Generatory algebry Liego su(3) reprezentacji fundamentalnej | edytuj kod

Algebra Liego s u ( 3 ) {\displaystyle su(3)} związana z grupą Liego S U ( 3 ) {\displaystyle SU(3)} posiada 3 2 1 = 8 {\displaystyle 3^{2}-1=8} generatorów T a , a = 1 , 2 , , 8. {\displaystyle T_{a},a=1,2,\dots ,8.} Dla reprezentacji fundamentalnej generatory te mają postacie

T a = λ a 2 , {\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}},}

gdzie λ a {\displaystyle \lambda _{a}} są macierzami Gell-Mann’a (będącymi analogami macierzy Pauliego):

λ 1 = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ) , λ 2 = ( 0 i 0 i 0 0 0 0 0 ) , λ 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) , λ 4 = ( 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ) , λ 5 = ( 0 0 i 0 0 0 i 0 0 ) , λ 6 = ( 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ) , λ 7 = ( 0 0 0 0 0 i 0 i 0 ) , λ 8 = 1 3 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\&\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\&\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}

Macierze te rozpinają przestrzeń macierzy hermitowskich bezśladowych, która jest algebrą Liego su(3). Macierze λ 2 , λ 5 , λ 7 {\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{5},\lambda _{7}} mają elementy urojone.

Reguły komutacyjne/antykomutacyjne | edytuj kod

Powyższe generatory T a , a = 1 , 2 , , 8 {\displaystyle T_{a},a=1,2,\dots ,8} implikują

a) reguły komutacyjne

T a , T b = i c = 1 8 f a b c T c , {\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},}

b) reguły antykomutacyjne

{ T a , T b } = 1 3 δ a b I 3 + c = 1 8 d a b c T c {\displaystyle \{T_{a},T_{b}\}={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c}}

lub równoważnie

{ λ a , λ b } = 4 3 δ a b I 3 + 2 c = 1 8 d a b c λ c . {\displaystyle \{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.}

Stałe struktury | edytuj kod

Ze związków komutacyjnych wynika, że stałe struktury f a b c {\displaystyle f_{abc}} algebry s u ( 3 ) {\displaystyle su(3)} zupełnie antysymetryczne, tzn. zmieniają znak przy przestawieniu dowolnych dwóch indeksów i mają wartości:

f 123 = 1 , {\displaystyle f_{123}=1,} f 147 = f 516 = f 246 = f 257 = f 345 = f 637 = 1 2 , {\displaystyle f_{147}=f_{516}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{637}={\tfrac {1}{2}},} f 458 = f 678 = 3 2 . {\displaystyle f_{458}=f_{678}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}

Pozostałe stałe o indeksach nie należących do powyższych permutacji zerują się. W ogólności stałe te zerują się, gdy zawierają nieparzystą liczbę indeksów ze zbioru {2, 5, 7}.

Symetryczne stałe | edytuj kod

Ze związków antykomutacyjnych wynika, że stałe d a b c {\displaystyle d_{abc}} są symetryczne ze względu na przestawienie dowolnych wskaźników i mają wartości:

d 118 = d 228 = d 338 = d 888 = 1 3 , {\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}},} d 448 = d 558 = d 668 = d 778 = 1 2 3 , {\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}},} d 344 = d 355 = d 366 = d 377 = 1 2 . {\displaystyle d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}={\frac {1}{2}}.}

Stałe zerują się, gdy liczba indeksów ze zbioru {2, 5, 7} jest nieparzysta.

Ślad kwadratów macierzy Gell-Manna | edytuj kod

Ślad kwadratów macierzy Gell-Manna wynosi 2, tj.

tr ( λ a λ b ) = 2 δ a b , {\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{a}\lambda _{b})=2\delta _{ab},}

gdzie δ a b {\displaystyle \delta _{ab}} - delta Kronekera. Jest tak dlatego, że macierze Pauliego są „wbudowane” w macierze Gell Manna (możliwa byłaby normalizacja śladu do 1).

Normowanie generatorów | edytuj kod

Stąd wynika, że generatory są unormowane tak, że

tr ( T a ) 2 = 1 2 . {\displaystyle {\text{tr}}(T_{a})^{2}={\frac {1}{2}}.}

Dowód (korzystamy z własności śladu):

tr ( T a ) 2 = tr ( λ a 2 λ a 2 ) = tr ( 1 4 λ 2 ) = 1 4 tr ( λ 2 ) = 1 4 2 = 1 2 . {\displaystyle {\text{tr}}(T_{a})^{2}={\text{tr}}\left({\frac {\lambda _{a}}{2}}{\frac {\lambda _{a}}{2}}\right)={\text{tr}}\left({\frac {1}{4}}\lambda ^{2}\right)={\frac {1}{4}}{\text{tr}}(\lambda ^{2})={\frac {1}{4}}\cdot 2={\frac {1}{2}}.}

Podalgebry algebry su(3) | edytuj kod

Istnieją trzy podalgebry su(2) algebry su(3)

  • { λ 1 , λ 2 , λ 3 } , {\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\},}
  • { λ 4 , λ 5 , x } {\displaystyle \{\lambda _{4},\lambda _{5},x\}} oraz
  • { λ 6 , λ 7 , y } . {\displaystyle \{\lambda _{6},\lambda _{7},y\}.}

Operatory Casimira – niezmienniki algebry su(3) | edytuj kod

Suma kwadratów macierzy Gell Manna jest tzw. operatorem Casimira, który jest jednym z niezmienników algebry su(3)

C = i = 1 8 λ i λ i = 16 3 I , {\displaystyle C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}\cdot I,}

gdzie I {\displaystyle I} jest macierzą jednostkową 3×3.

Analogicznie definiuje się sześcienny operator Casimira, który też jest niezmiennikiem grupy.

Generowanie ogólnego elementu | edytuj kod

Ogólny element grupy SU(3) generowany przez bezśladową macierz hermitowską H {\displaystyle H} wymiaru 3×3, taką że tr ( H 2 ) = 2 {\displaystyle {\text{tr}}(H^{2})=2} można wyrazić za pomocą wielomianu 2-go rzędu macierzy H {\displaystyle H}

exp ( i θ H ) = 1 3 I sin ( φ + 2 π 3 ) sin ( φ 2 π 3 ) 1 2 3   H sin ( φ ) 1 4   H 2 exp ( 2 3   i θ sin ( φ ) ) cos ( φ + 2 π 3 ) cos ( φ 2 π 3 ) + 1 3   I sin ( φ ) sin ( φ 2 π 3 ) 1 2 3   H sin ( φ + 2 π 3 ) 1 4   H 2 exp ( 2 3   i θ sin ( φ + 2 π 3 ) ) cos ( φ ) cos ( φ 2 π 3 ) + 1 3   I sin ( φ ) sin ( φ + 2 π 3 ) 1 2 3   H sin ( φ 2 π 3 ) 1 4   H 2 exp ( 2 3   i θ sin ( φ 2 π 3 ) ) cos ( φ ) cos ( φ + 2 π 3 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)&=\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[4pt]&+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[4pt]&+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}},\end{aligned}}}

gdzie:

φ 1 3 arccos ( 3 3 2 det H ) π 2 . {\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}

Zastosowania w chromodynamice kwantowej | edytuj kod

Macierz Gell-Manna służą do opisu symetrii kolorowej pola gluonowego, które powstaje z cechowania pola kwarkowego. Faza θ a ( r , t ) , a = 1 , , 8 {\displaystyle \theta ^{a}({\mathbf {r} },t),a=1,\dots ,8} pola gluonowego U {\displaystyle U} musi mieć lokalną symetrię czasoprzestrzenną opisaną grupą SU(3), gdzie U = exp ( i a = 1 8 θ a ( r , t ) λ a / 2 ) . {\displaystyle U=\exp(i\sum _{a=1}^{8}\theta ^{a}({\mathbf {r} },t)\lambda _{a}/2).}

Reprezentacja grupy. Reprezentacje wierne | edytuj kod

Grupa jest abstrakcyjnym zbiorem obiektów o określonych własnościach. Reprezentacją macierzową grupy G {\displaystyle G} nazywa się przekształcenie zachowujące strukturę grupową, czyli homomorfizm grupy w zbiór macierzy kwadratowych D {\displaystyle D} takie, że

D ( g 1 g 2 ) = D ( g 1 ) D ( g 2 ) , {\displaystyle D(g_{1}\circ g_{2})=D(g_{1})\cdot D(g_{2}),}

gdzie {\displaystyle \circ } oznacza działanie grupowe, a kropka mnożenie macierzy.

A więc zbiór macierzy D ( g i ) {\displaystyle D(g_{i})} tworzy grupę.

Reprezentację grupy G nazywa się wierną i równoważną, kiedy przekształcenie elementów grupy w zbiór macierzy jest izomorfizmem, czyli przekształceniem wzajemnie jednoznacznym. Wówczas reprezentacja ma następujące własności:

D ( e ) = 1 , {\displaystyle D(e)=1,} D ( g g 1 ) = D ( g ) D ( g 1 ) = 1 , {\displaystyle D(g\circ g^{-1})=D(g)\cdot D(g^{-1})=1,}

to znaczy:

  • element neutralny grupy przechodzi w macierz jednostkową,
  • element odwrotny do g {\displaystyle g} jest reprezentowany przez macierz odwrotną do D ( g ) . {\displaystyle D(g).}

Zobacz też | edytuj kod

Grupy transformacji

Pojęcia powiązane

Bibliografia | edytuj kod

  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​.
  • David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press 2008.
  • Thanu Padmanabhan, Quantum Field Theory: The Why, What and How, Springer, Heidelberg 2016.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Specjalna grupa unitarna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy