Srebrna liczba


Srebrny podział w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Srebrna liczba) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Srebrny prostokąt

Srebrny podziałstała matematyczna, której nazwa nawiązuje do złotego podziału. Podobnie jak ilorazy dwóch kolejnych liczb Fibonacciego zbiegają do odwrotności złotej liczby (tzn. do 1 / φ {\displaystyle 1/\varphi } ), tak odwrotność srebrnej liczby jest granicą ilorazów dwóch kolejnych liczb Pella. Dwa odcinki będące w srebrnym podziale mają się więc do siebie tak, jak bok jednostkowego kwadratu do jego przekątnej[1][2].

Srebrny podział w ośmiokącie foremnym

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Srebrny podział ( δ S ) {\displaystyle (\delta _{S})} definiuje się jako liczbę niewymierną, będącą sumą liczby 1 i pierwiastka kwadratowego z 2, czyli:

δ S = 1 + 2 2,414 21   35623   73095   04880   16887   24210 {\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}41421\ 35623\ 73095\ 04880\ 16887\ 24210}

Z definicji wynika, że:

( δ S 1 ) 2 = 2. {\displaystyle (\delta _{S}-1)^{2}=2.}

Srebrny podział może być również zdefiniowany jako prosty ułamek łańcuchowy [2; 2, 2, 2,...][1][2]:

δ S = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + {\displaystyle \delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}} Potęgi liczby srebrnej da się wyrazić tak: δ S n = P ( n ) δ S + P ( n 1 ) {\displaystyle \delta _{S}^{n}=P(n)\delta _{S}+P(n-1)} dla n>0, gdzie P(n) to n-ta liczba Pella, analogicznie do podobnej równości dla liczby phi wykorzystującej liczby Fibonacciego[2].

Wyprowadzenie | edytuj kod

Dzielone części oznaczmy jako, a i b; z definicji s. podziału zachodzi: a b = 2 a + b a = δ S , {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {2a+b}{a}}=\delta _{S},} co można skrócić do a b = 2 + b a = δ S , {\displaystyle {\frac {a}{b}}=2+{\frac {b}{a}}=\delta _{S},} więc δ S = 2 + 1 δ S . {\displaystyle \delta _{S}=2+{\frac {1}{\delta _{S}}}.} Jest to równanie kwadratowe, ma dodatni pierwiastek równy δ S = 1 + 2 {\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}} (dla sposobu rozwiązania vide: równanie kwadratowe).

Wykorzystanie | edytuj kod

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Srebrny podział jest stosowany w architekturze – w Polsce według badania O. Vogta i in. wystąpił w 76% analizowanych budynków w Krakowie[3].

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Eric W. Weisstein, „Srebrny podział” na MathWorld.
  2. a b c silver ratio, planetmath.org [dostęp 2018-06-24] .
  3. O. Vogt i in., Proporcje we współczesnej architekturze polskiej na przykładzie Krakowa, „Czasopismo Techniczne. A, Architktura” R. 104, z. 6-A, 2007, Kraków: Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, ISSN 1897-6271.
Na podstawie artykułu: "Srebrna liczba" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy