Stała Catalana


Stała Catalana w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Stała Catalana to stała matematyczna, oznaczana jako K, pojawiająca się w oszacowaniach z dziedziny kombinatoryki. Jej definicja jest następująca:

K = n = 0 ( 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2 = 1 1 2 1 3 2 + 1 5 2 1 7 2 + {\displaystyle K=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\dots }

lub równoważnie

K = 0   1 ln ( t ) 1 + t 2  d t {\displaystyle K=-\int \limits _{0}^{\ 1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}{\mbox{ d}}t}

Jej przybliżona wartość to

K = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 ... (ciąg A006752 w OEIS)

Nie jest wiadome czy K jest liczbą wymierną czy niewymierną.

Stała została nazwana na cześć matematyka belgijskiego, Eugène Charlesa Catalana.

Szybko zbieżne formuły do numerycznego obliczania stałej K | edytuj kod

K = 3 n = 0 1 2 4 n ( 1 2 ( 8 n + 2 ) 2 + 1 2 2 ( 8 n + 3 ) 2 1 2 3 ( 8 n + 5 ) 2 + 1 2 3 ( 8 n + 6 ) 2 1 2 4 ( 8 n + 7 ) 2 + 1 2 ( 8 n + 1 ) 2 ) 2 n = 0 1 2 12 n ( 1 2 4 ( 8 n + 2 ) 2 + 1 2 6 ( 8 n + 3 ) 2 1 2 9 ( 8 n + 5 ) 2 1 2 10 ( 8 n + 6 ) 2 1 2 12 ( 8 n + 7 ) 2 + 1 2 3 ( 8 n + 1 ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}K&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\tfrac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\tfrac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\tfrac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\tfrac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)\\&-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\tfrac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\tfrac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\tfrac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\tfrac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}}

oraz

K = π 8 log ( 3 + 2 ) + 3 8 n = 0 ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! ( 2 n + 1 ) 2 . {\displaystyle K={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Stała Catalana" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy