Stała Eulera


Stała Eulera w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Stała Eulera, stała Eulera-Mascheroniego (γ) – stała matematyczna wynosząca około 0,5772156649.

Spis treści

Historia notacji | edytuj kod

Stałą po raz pierwszy zapisał szwajcarski matematyk Leonhard Euler w dziele zatytułowanym De Progressionibus harmonicis Observationes. Oznaczał ją za pomocą C i O. W 1790 r. włoski matematyk Lorenzo Mascheroni używał liter A i a. Znak γ nie pojawia się w pismach Eulera ani Mascheroniego i został użyty później ze względu na związek stałej Eulera z funkcją gamma. Na przykład niemiecki matematyk Carl Anton Bretschneider używał symbolu γ w 1835 roku[1].

Definicja | edytuj kod

Stała Eulera pojawia się w analizie matematycznej jako granica ciągu

γ = lim n ( 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n ln ( n ) ) = lim n ( k = 1 n 1 k ln ( n ) ) = lim n ( H n ln ( n ) ) , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=\lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln(n)\right),}

gdzie H n {\displaystyle H_{n}} oznacza odpowiednią liczbę harmoniczną.

Inaczej można ją zdefiniować za pomocą funkcji ζ Riemanna:

γ = lim x 1 + ( ζ ( x ) 1 x 1 ) {\displaystyle \gamma =\lim _{x\to 1^{+}}\left(\zeta (x)-{\frac {1}{x-1}}\right)}

lub za pomocą następującej całki:

γ = 0 ln t e t d t . {\displaystyle \gamma =-\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln t}{e^{t}}}{\text{d}}t.}

Występuje też jako wartość wielu innych całek oznaczonych.

Własności | edytuj kod

Średnia wartość części ułamkowych z dzielenia liczby naturalnej N przez kolejne liczby mniejsze od N (albo kolejne liczby pierwsze mniejsze od N) dąży do wartości 1-γ przy wzroście N[2].

Stała Eulera bardzo często pojawia się w teorii liczb np. przy asymptotycznych oszacowaniach niektórych funkcji arytmetycznych (twierdzenie Dirichleta o sumie dzielników liczb naturalnych, czy też twierdzenie Mertensa). Pojawia się też często przy rozważaniu szeregu harmonicznego. W tych rozważaniach często występuje:

e γ = k = 1 e k 1 + 1 k 1,781 07 {\displaystyle e^{\gamma }=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\sqrt[{k}]{e}}{1+{\frac {1}{k}}}}\approx 1{,}78107\dots }

Nie jest wiadome, czy ta stała jest liczbą wymierną, czy też niewymierną, ale wykazano, że jeśli liczba γ jest liczbą wymierną, to jej mianownik musi mieć ponad 10242080 cyfr[3].

Wartość przybliżona stałej Eulera γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 923 598 805…[4]

Do obliczania wartości liczby γ można użyć wzoru:

1 24 ( n + 1 ) 2 < ( k = 1 n 1 k ) ln ( n + 1 2 ) γ < 1 24 n 2 . {\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}

Związki | edytuj kod

Stała Eulera występuje m.in. w:

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Krämer 2005.
  2. Ibrahim M.I.M. Alabdulmohsin Ibrahim M.I.M., Fractional parts and their relations to the values of the Riemann zeta function, „Arabian Journal of Mathematics”, 7 (1), 2018, s. 1–8, DOI10.1007/s40065-017-0184-2, ISSN 2193-5343 [dostęp 2019-05-30]  (ang.).
  3. Havil, Julian: Gamma: Exploring Euler’s Constant. Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-09983-9.
  4. OEIS: Decimal expansion of Euler’s constant (or Euler-Mascheroni constant) gamma (ang.). [dostęp 2016-03-15].
Kontrola autorytatywna (stała matematyczna):
Na podstawie artykułu: "Stała Eulera" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy