Stowarzyszone funkcje Legendre'a


Stowarzyszone funkcje Legendre’a w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Stowarzyszone funkcje Legendre'a) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Stowarzyszone funkcje Legendre’a (stowarzyszone wielomiany Legendre’a)funkcje P l m ( x ) {\displaystyle P_{l}^{m}(x)} zmiennej rzeczywistej x 1 , 1 , {\displaystyle x\in [-1,1],} będące kanonicznymi rozwiązaniami równania różniczkowego Legendre’a

( 1 x 2 ) d 2 d x 2 2 x d d x + λ m 2 1 x 2 f ( x ) = 0 , {\displaystyle \left[(1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-2x{\frac {d}{dx}}+\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]f(x)=0,}

gdzie λ , m {\displaystyle \lambda ,m} parametry równania.

Równanie to ma niezerowe i nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb całkowitych λ , m , {\displaystyle \lambda ,m,} takich że

(1) λ = l ( l + 1 ) {\displaystyle \lambda =l(l+1)} oraz

(2) l , m {\displaystyle l,m} są liczbami całkowitymi, takimi że 0 m l . {\displaystyle 0\leqslant m\leqslant l.}

Funkcje te są związane z wielomianami Legendre’a P l ( x ) {\displaystyle P_{l}(x)} zależnością

P l m ( x ) = ( 1 ) m ( 1 x 2 ) m / 2 d m d x m P l ( x ) . {\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{l}(x).}

Stowarzyszone funkcje Legendre’a stanowią zasadniczą część tzw. harmonik sferycznych.

Spis treści

Ogólne rozwiązanie równania Legendre’a | edytuj kod

Ogólne rozwiązanie f ( x ) {\displaystyle f(x)} można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji P l m ( x ) {\displaystyle P_{l}^{m}(x)} o różnych wartościach parametrów l , m . {\displaystyle l,m.} Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady wielomianów Legendre’a P l m ( x ) {\displaystyle P_{l}^{m}(x)} | edytuj kod

Kilka pierwszych stowarzyszonych wielomianów Legendre’a, włączając te z ujemnymi wartościami m , {\displaystyle m,} są następujące:

(0)

P 0 0 ( x ) = 1 {\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}

(1)

P 1 1 ( x )   = 1 2 P 1 1 ( x ) P 1 0 ( x )   = x P 1 1 ( x )   = ( 1 x 2 ) 1 / 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{1}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\&P_{1}^{0}(x)\ &=x\\&P_{1}^{1}(x)\ &=-(1-x^{2})^{1/2}\end{alignedat}}}

(2)

P 2 2 ( x )   = 1 24 P 2 2 ( x ) P 2 1 ( x )   = 1 6 P 2 1 ( x ) P 2 0 ( x )   = 1 2 ( 3 x 2 1 ) P 2 1 ( x )   = 3 x ( 1 x 2 ) 1 / 2 P 2 2 ( x )   = 3 ( 1 x 2 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{2}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\&P_{2}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\&P_{2}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\&P_{2}^{1}(x)\ &=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{2}^{2}(x)\ &=3(1-x^{2})\end{alignedat}}}

(3)

P 3 3 ( x )   = 1 720 P 3 3 ( x ) P 3 2 ( x )   = 1 120 P 3 2 ( x ) P 3 1 ( x )   = 1 12 P 3 1 ( x ) P 3 0 ( x )   = 1 2 ( 5 x 3 3 x ) P 3 1 ( x )   = 3 2 ( 5 x 2 1 ) ( 1 x 2 ) 1 / 2 P 3 2 ( x )   = 15 x ( 1 x 2 ) P 3 3 ( x )   = 15 ( 1 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{3}^{-3}(x)\ &=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\&P_{3}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\&P_{3}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\&P_{3}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\&P_{3}^{1}(x)\ &=-{\tfrac {3}{2}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{3}^{2}(x)\ &=15x(1-x^{2})\\&P_{3}^{3}(x)\ &=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{alignedat}}}

(4)

P 4 4 ( x )   = 1 40320 P 4 4 ( x ) P 4 3 ( x )   = 1 5040 P 4 3 ( x ) P 4 2 ( x )   = 1 360 P 4 2 ( x ) P 4 1 ( x )   = 1 20 P 4 1 ( x ) P 4 0 ( x )   = 1 8 ( 35 x 4 30 x 2 + 3 ) P 4 1 ( x )   = 5 2 ( 7 x 3 3 x ) ( 1 x 2 ) 1 / 2 P 4 2 ( x )   = 15 2 ( 7 x 2 1 ) ( 1 x 2 ) P 4 3 ( x )   = 105 x ( 1 x 2 ) 3 / 2 P 4 4 ( x )   = 105 ( 1 x 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&P_{4}^{-4}(x)\ &={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\&P_{4}^{-3}(x)\ &=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\&P_{4}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\&P_{4}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\&P_{4}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\&P_{4}^{1}(x)\ &=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{4}^{2}(x)\ &={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\&P_{4}^{3}(x)\ &=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\&P_{4}^{4}(x)\ &=105(1-x^{2})^{2}\end{alignedat}}}

Funkcje Legendre’a wyrażone za pomocą kąta θ {\displaystyle \theta } | edytuj kod

Funkcje P l m ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )} | edytuj kod

Stowarzyszone funkcje Legendre’a są najbardziej użyteczne, gdy ich argument wyrazi się w funkcji kąta: podstawiając do równania Legendre’a (por. wstęp do artykułu) wielkość x = cos θ {\displaystyle x=\cos \theta } oraz używając relacji ( 1 x 2 ) 1 / 2 = sin θ {\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta } otrzymuje się równanie różniczkowe zależne od dwóch parametrów λ , m {\displaystyle \lambda ,m} postaci

d 2 d θ 2 + ctg θ d d θ + λ m 2 sin 2 θ f ( θ ) = 0. {\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}+\operatorname {ctg} \theta {\frac {d}{d\theta }}+\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,f(\theta )=0.}

Rozwiązaniami tego równania są funkcje P l m ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )} zmiennej θ 0 , π {\displaystyle \theta \in [0,\pi ]} takie że

P l m ( cos θ ) = ( 1 ) m ( sin θ ) m   d m d ( cos θ ) m P l ( cos θ ) , {\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{l}(\cos \theta ),}

gdzie P l ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}(\cos \theta )} wielomianami Legendre’a z argumentem x = cos θ , {\displaystyle x=\cos \theta ,} przy czym rozwiązania są nieosobliwe tylko gdy spełnione są warunki:

(1) λ = l ( l + 1 ) {\displaystyle \lambda =l(l+1)} oraz

(2) l , m {\displaystyle l,m} są liczbami całkowitymi, takimi że 0 m l . {\displaystyle 0\leqslant m\leqslant l.}

Relacje ortogonalności | edytuj kod

(1) Dla ustalonego m {\displaystyle m} funkcje P l m ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )} z parametrem θ 0 , π {\displaystyle \theta \in [0,\pi ]} są ortogonalne z wagą sin θ {\displaystyle \sin \theta }

0 π P k m ( cos θ ) P l m ( cos θ ) sin θ d θ = 2 ( l + m ) ! ( 2 l + 1 ) ( l m ) !   δ k , l , {\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{l}^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(l+m)!}{(2l+1)(l-m)!}}\ \delta _{k,l},}

(2) Także, dla danego l {\displaystyle l} mamy

0 π P l m ( cos θ ) P l n ( cos θ ) cosec ( θ ) d θ = { 0 if  m n ( l + m ) ! m ( l m ) ! if  m = n 0 if  m = n = 0. {\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )\,P_{l}^{n}(\cos \theta )\operatorname {cosec} (\theta )\,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(l+m)!}{m(l-m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0.\end{cases}}}

Ogólne rozwiązanie | edytuj kod

Ogólne rozwiązanie f ( θ ) {\displaystyle f(\theta )} można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji P l m ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )} o różnych wartościach parametrów l , m . {\displaystyle l,m.} Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady stowarzyszonych funkcji Legendre’a P l m ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )} | edytuj kod

P 0 0 ( cos θ ) = 1 P 1 0 ( cos θ ) = cos θ P 1 1 ( cos θ ) = sin θ P 2 0 ( cos θ ) = 1 2 ( 3 cos 2 θ 1 ) P 2 1 ( cos θ ) = 3 cos θ sin θ P 2 2 ( cos θ ) = 3 sin 2 θ P 3 0 ( cos θ ) = 1 2 ( 5 cos 3 θ 3 cos θ ) P 3 1 ( cos θ ) = 3 2 ( 5 cos 2 θ 1 ) sin θ P 3 2 ( cos θ ) = 15 cos θ sin 2 θ P 3 3 ( cos θ ) = 15 sin 3 θ P 4 0 ( cos θ ) = 1 8 ( 35 cos 4 θ 30 cos 2 θ + 3 ) P 4 1 ( cos θ ) = 5 2 ( 7 cos 3 θ 3 cos θ ) sin θ P 4 2 ( cos θ ) = 15 2 ( 7 cos 2 θ 1 ) sin 2 θ P 4 3 ( cos θ ) = 105 cos θ sin 3 θ P 4 4 ( cos θ ) = 105 sin 4 θ {\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}

Zastosowania w fizyce | edytuj kod

 Osobny artykuł: Harmoniki sferyczne.

Równania opisujące układy i pola o symetrii sferycznej | edytuj kod

Stowarzyszone wielomiany Legendre’a są głównymi składnikami rozwiązań równań fizycznych w wielu sytuacjach, gdy układy i pola mają symetrią sferyczną. Np. równanie Schrödingera zapisane dla atomu wodoru, gdy na atom nie działa żadne pole zewnętrzne (np. pole magnetyczne) ma symetrię sferyczną. W takich sytuacjach wygodnie jest zapisać równanie różniczkowe w układzie współrzędnych sferycznych r , ϕ , θ {\displaystyle r,\phi ,\theta } i rozwiązać je metodą separacji zmiennych. Część równania, która zostaje po odrzuceniu części radialnej zależnej od r , {\displaystyle r,} ma zwykle postać Δ ψ ( θ , ϕ ) + λ ψ ( θ , ϕ ) = 0 , {\displaystyle \Delta \psi (\theta ,\phi )+\lambda \,\psi (\theta ,\phi )=0,} przy czym Δ {\displaystyle \Delta } oznacza operator Laplace’a zapisany we współrzędnych sferycznych, przy założeniu stałości współrzędnej radialnej r . {\displaystyle r.} Rozwiązaniami tego równania są tzw. harmoniki sferyczne, będące iloczynami wielomianów Legendre’a (zależnych od kąta θ {\displaystyle \theta } ) i funkcji zależnych od kąta ϕ . {\displaystyle \phi .}

Równanie Δ ψ + λ ψ = 0 {\displaystyle \Delta \psi +\lambda \psi =0} | edytuj kod

Wielomiany Legendre’a stanowią główny składnik rozwiązania równania Δ ψ + λ ψ = 0 {\displaystyle \Delta \psi +\lambda \psi =0} określonego na powierzchni sfery dla zmiennych ϕ , θ . {\displaystyle \phi ,\theta .} Zapisując operator Laplace’a Δ {\displaystyle \Delta } we współrzędnych sferycznych dla stałej współrzędnej radialnej r , {\displaystyle r,} równanie to przyjmie postać

1 sin θ θ sin θ θ + 1 sin 2 θ 2 φ 2 ψ + λ ψ = 0 , {\displaystyle \left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]\psi +\lambda \psi =0,}

które rozwiązuje się metodą separacji zmiennych, tj. przyjmując ψ ( θ , ϕ ) = X ( ϕ ) Y ( θ ) . {\displaystyle \psi (\theta ,\phi )=X(\phi )\cdot Y(\theta ).} Otrzymuje się stąd dwa równania:

(1) równanie zależne od ϕ {\displaystyle \phi }

d 2 X d ϕ 2 + m 2 X = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}X}{d\phi ^{2}}}+m^{2}X=0}

– jego rozwiązania są postaci sin ( m ϕ ) {\displaystyle \sin(m\phi )} lub cos ( m ϕ ) , {\displaystyle \cos(m\phi ),} przy czym m = 0 , ± 1 , ± 2 , , {\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\dots ,} aby rozwiązania były jednoznaczne dla powtarzających się wartości kąta co 2 π , {\displaystyle 2\pi ,} tj. X ( ϕ + 2 π m ) = X ( ϕ ) . {\displaystyle X(\phi +2\pi m)=X(\phi ).}

(2) równanie zależne od θ {\displaystyle \theta }

1 sin θ θ sin θ θ Y λ + m 2 sin 2 θ Y = 0 {\displaystyle \left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right]Y-\left[\lambda +{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,Y=0}

– jego rozwiązaniami są wielomiany Legendre’a P l m ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )} mnożone przez dowolną stałą, przy czym l m {\displaystyle l\geqslant m} oraz λ = l ( l + 1 ) , {\displaystyle \lambda =l(l+1),} aby rozwiązania nie były osobliwe.

Równanie Δ ψ + λ ψ = 0 {\displaystyle \Delta \psi +\lambda \psi =0} posiada więc nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb λ {\displaystyle \lambda } takich że λ = l ( l + 1 ) , {\displaystyle \lambda =l(l+1),} przy czym rozwiązania te są proporcjonalne do

P l m ( cos θ )   cos ( m ϕ ) 0 m l {\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\quad 0\leqslant m\leqslant l}

i

P l m ( cos θ )   sin ( m ϕ ) 0 < m l . {\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\quad 0<m\leqslant l.}

Dla każdej liczby l {\displaystyle l} mamy 2 + 1 {\displaystyle 2\ell +1} funkcji o różnych wartościach m {\displaystyle m} oraz dwie funkcje sin i cos. Funkcje te są ortogonalne zarówno dla różnych wartości liczb {\displaystyle \ell } oraz m , {\displaystyle m,} jeżeli całkuje się je po całej powierzchni sfery.

Rozwiązania te zapisuje się zwykle z użyciem zespolonej funkcji eksponencjalnej

Y l m ( θ , ϕ ) = ( 2 l + 1 ) ( l m ) ! 4 π ( l + m ) !   P l m ( cos θ )   e i m ϕ l m l . {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2l+1)(l-m)!}{4\pi (l+m)!}}}\ P_{l}^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -l\leqslant m\leqslant l.}

Funkcje Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )} nazywa się harmonikami sferycznymi; wielkość pod pierwiastkiem jest czynnikiem normalizacyjnym. Z powyższego wzoru wynika, że zależność między harmonikami sferycznymi o tych samych wartościach l , {\displaystyle l,} a przeciwnych wartościach m , {\displaystyle m,} spełnia zależność

Y l m ( θ , ϕ ) = ( 1 ) m Y l m ( θ , ϕ ) , {\displaystyle Y_{l}^{m\,*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{l}^{-m\,*}(\theta ,\phi ),}

gdzie {\displaystyle *} oznacza sprzężenie zespolone.

Na podstawie artykułu: "Stowarzyszone funkcje Legendre'a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy