Suma (algebra liniowa)

Podprzestrzeń liniowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Suma (algebra liniowa)) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.

Podzbiór U {\displaystyle U} przestrzeni liniowej V {\displaystyle V} nad ciałem K {\displaystyle K} jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich u , v ∈ U {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in U} i a ∈ K {\displaystyle a\in K} spełnione są warunki:

0 ∈ U , {\displaystyle 0\in U,} a u ∈ U , {\displaystyle a\mathbf {u} \in U,} u + v ∈ U {\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} \in U} [1].

Z obu powyższych warunków wynika, że zbiór U {\displaystyle U} jest zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że U {\displaystyle U} jest podzbiorem V . {\displaystyle V.}

Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.

Przykłady | edytuj kod

Na szaro, zielono i żółto zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie (płaszczyzny) trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej; na niebiesko zaznaczono podprzestrzeń jednowymiarową (prostą). Dobór układu współrzędnych nie jest istotny.
  • W każdej przestrzeni liniowej V {\displaystyle V} zbiory { 0 } {\displaystyle \{\mathbf {0} \}} oraz cała przestrzeń V {\displaystyle V} są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą.
  • W przestrzeni współrzędnych R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} podzbiór złożony z wektorów postaci t , 3 t {\displaystyle [t,3t]} dla t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt ( 1 , 3 ) . {\displaystyle (1,3).}
  • Podobnie w przestrzeni R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} podzbiór złożony z wektorów postaci t , 3 t , s , {\displaystyle [t,3t,s],} gdzie t , s {\displaystyle t,s} są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} i ( 1 , 3 , 0 ) . {\displaystyle (1,3,0).}
  • W przestrzeni liniowej R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} wszystkich ciągów o wartościach rzeczywistych następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi:
  • Jeżeli V {\displaystyle V} jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.

Działania | edytuj kod

Niech V {\displaystyle V} będzie przestrzenią liniową.

  • Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni V {\displaystyle V} jest podprzestrzenią liniową[4]. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tej części wspólnej, jako że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.
  • Dla rodziny U 1 , … , U n {\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}} podprzestrzeni liniowych przestrzeni V {\displaystyle V} definiuje się ich sumę algebraiczną
U 1 + … + U n := { u 1 + … u n : u 1 ∈ U 1 , … , u n ∈ U n } . {\displaystyle U_{1}+\ldots +U_{n}:=\{\mathbf {u} _{1}+\ldots \mathbf {u} _{n}\colon \mathbf {u} _{1}\in U_{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}\in U_{n}\}.} Suma algebraiczna U 1 + … + U n {\displaystyle U_{1}+\ldots +U_{n}} podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V {\displaystyle V} [5].
Dowód
Niech x , y ∈ U 1 + … + U n . {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in U_{1}+\ldots +U_{n}.} Wówczas x = x 1 + … + x n {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n}} oraz y = y 1 + … + y n {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {y} _{1}+\ldots +\mathbf {y} _{n}} dla pewnych x i , y i ∈ U i . {\displaystyle \mathbf {x} _{i},\mathbf {y} _{i}\in U_{i}.} Oznacza to, że x + y = x 1 + … + x n + y 1 + … + y n = x 1 + y 1 ⏟ ∈ U 1 + … + x n + y n ⏟ ∈ U n ∈ U 1 + … + U n . {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n}+\mathbf {y} _{1}+\ldots +\mathbf {y} _{n}=\underbrace {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {y} _{1}} _{\in U_{1}}+\ldots +\underbrace {\mathbf {x} _{n}+\mathbf {y} _{n}} _{\in U_{n}}\in U_{1}+\ldots +U_{n}.} Niech x ∈ U + W , {\displaystyle \mathbf {x} \in U+W,} zaś c {\displaystyle c} będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora x {\displaystyle \mathbf {x} } co wyżej uzyskuje się c x = c ( x 1 + … + x n ) = c x 1 ⏟ ∈ U 1 + … + c x n ⏟ ∈ U n ∈ U 1 + … + U n . {\displaystyle c\mathbf {x} =c(\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n})=\underbrace {c\mathbf {x} _{1}} _{\in U_{1}}+\ldots +\underbrace {c\mathbf {x} _{n}} _{\in U_{n}}\in U_{1}+\ldots +U_{n}.} Powyższa konstrukcja przenosi się na dowolną rodzinę { U i : i ∈ I } {\displaystyle \{U_{i}\colon i\in I\}} podprzestrzeni liniowych V . {\displaystyle V.} Ich sumę algebraiczną definiuje się jako ∑ i ∈ I U i = { x 1 + … + x n : x 1 , … , x n ∈ ⋃ i ∈ I U i } . {\displaystyle \sum _{i\in I}U_{i}={\Big \{}\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n}\colon \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\in \bigcup _{i\in I}U_{i}{\Big \}}.} Podobnie jak w skończonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.  Osobny artykuł: suma prosta przestrzeni liniowych. Sumę algebraiczną U 1 + … + U n {\displaystyle U_{1}+\ldots +U_{n}} nazywa się prostą, gdy U i ∩ U j = { 0 } {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}=\{0\}} dla i ≠ j ; {\displaystyle i\neq j;} stosuje się wówczas oznaczenie U 1 ⊕ … ⊕ U n . {\displaystyle U_{1}\oplus \ldots \oplus U_{n}.}

Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni V {\displaystyle V} wraz z działaniami + {\displaystyle +} i ∩ {\displaystyle \cap } tworzy kratę zupełną, w której infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich część wspólna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (możliwie nieskończona) suma algebraiczna[6].

Wymiar i kowymiar | edytuj kod

 Zobacz też: wymiar.

Niech V {\displaystyle V} będzie przestrzenią liniową. Ponieważ każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni V {\displaystyle V} sama jest przestrzenią liniową można mówić o jej wymiarze (oznaczanym symbolem dim {\displaystyle \dim } ), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.

Niech U {\displaystyle U} i W {\displaystyle W} będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V . {\displaystyle V.} Między wymiarami przestrzeni U + W {\displaystyle U+W} i U ∩ W {\displaystyle U\cap W} zachodzi związek[7][8]

dim ⁡ ( U + W ) + dim ⁡ ( U ∩ W ) = dim ⁡ U + dim ⁡ W . {\displaystyle \dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W.}

W szczególności[9][8]

dim ⁡ ( U ⊕ W ) = dim ⁡ U + dim ⁡ W . {\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim U+\dim W.}

Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli U 1 , … , U n {\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}} są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V , {\displaystyle V,} że

dim ⁡ V = dim ⁡ U 1 + … + dim ⁡ U n , {\displaystyle \dim V=\dim U_{1}+\ldots +\dim U_{n},}

to[10]

V = U 1 ⊕ … ⊕ U n . {\displaystyle V=U_{1}\oplus \ldots \oplus U_{n}.}

Niech U {\displaystyle U} oraz W {\displaystyle W} będą podprzestrzeniami V . {\displaystyle V.} Kowymiarem podprzestrzeni U {\displaystyle U} w V , {\displaystyle V,} oznaczanym c o d i m U {\displaystyle \mathrm {codim} \;U} nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej V / U . {\displaystyle V/U.} Jeżeli V {\displaystyle V} jest przestrzenią skończenie wymiarową, to

dim ⁡ V / U = dim ⁡ V − dim ⁡ U . {\displaystyle \dim V/U=\dim V-\dim U.}

Podprzestrzeń liniowa generowana przez zbiór wektorów | edytuj kod

Niech V {\displaystyle V} będzie przestrzenią liniową nad ciałem K . {\displaystyle K.} Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru A {\displaystyle A} przestrzeni liniowej V {\displaystyle V} definiuje się podprzestrzeń generowaną przez zbiór A , {\displaystyle A,} l i n A {\displaystyle \mathrm {lin} \,A} (inne symbole: s p a n A , ⟨ A ⟩ {\displaystyle \mathrm {span} \,A,\;\langle A\rangle } ), jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru A , {\displaystyle A,} tj.

l i n A = { c 1 v 1 + ⋯ + c k v k : c i ∈ K , v i ∈ A , i ⩽ k , k ∈ N } . {\displaystyle \mathrm {lin} \,A={\big \{}c_{1}\mathbf {v} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {v} _{k}\colon c_{i}\in K,\;\mathbf {v} _{i}\in A,i\leqslant k,\;k\in \mathbb {N} \}.}

Zbiór l i n A {\displaystyle \mathrm {lin} \,A} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V ; {\displaystyle V;} jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa przestrzeni V , {\displaystyle V,} która zawiera zbiór A {\displaystyle A} [2]. Zbiór A {\displaystyle A} nazywany jest zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń l i n A , {\displaystyle \mathrm {lin} \,A,} a przestrzeń l i n A {\displaystyle \mathrm {lin} \,A} podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór A {\displaystyle A} bądź także otoczką liniową albo powłoką liniową zbioru A . {\displaystyle A.}

Jeżeli zbiór A {\displaystyle A} generuje przestrzeń V , {\displaystyle V,} to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń V {\displaystyle V} jest generowana przez samą siebie. Dla zbioru A ≠ { 0 } {\displaystyle A\neq \{0\}} generującego przestrzeń V {\displaystyle V} następujące warunki są równoważne

  1. zbiór A {\displaystyle A} jest bazą przestrzeni V , {\displaystyle V,}
  2. zbiór A {\displaystyle A} jest liniowo niezależny,
  3. każdy wektor przestrzeni V {\displaystyle V} można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru A {\displaystyle A} [11].

Przykłady | edytuj kod

  • Jeżeli A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V , {\displaystyle V,} to
l i n A = A {\displaystyle \mathrm {lin} \,A=A} oraz l i n ( A ∪ B ) = A + B . {\displaystyle \mathrm {lin} \,(A\cup B)=A+B.}
  • Podprzestrzeń przestrzeni R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} generowana przez zbiór { 1 , 3 } {\displaystyle \{[1,3]\}} opisana jest w drugim z przykładów.

Przypisy | edytuj kod

  1. ↑ Axler 1997 ↓, s. 13.
  2. ↑ a b Rutkowski 2006 ↓, s. 31.
  3. ↑ Rutkowski 2006 ↓, s. 233.
  4. ↑ Axler 1997 ↓, s. 17.
  5. ↑ Axler 1997 ↓, s. 14.
  6. ↑ Roman 2005 ↓, s. 39–40.
  7. ↑ Axler 1997 ↓, s. 33.
  8. ↑ a b Roman 2005 ↓, s. 50.
  9. ↑ Axler 1997 ↓, s. 36.
  10. ↑ Axler 1997 ↓, s. 34.
  11. ↑ Roman 2005 ↓, s. 46.

Bibliografia | edytuj kod

  • Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Wyd. 2. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 1997.
  • Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry. Cz. 2: Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
  • Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Wyd. 5. PWN, 2006. ISBN 83-01-14388-6.
  • Steven Roman: Advanced Linear Algebra. Wyd. 2. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, seria: Graduate Texts in Mathematics 135. ISBN 978-0-387-24766-3. (ang.)
Na podstawie artykułu: "Suma (algebra liniowa)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy