Sygnał okresowy

Sygnał okresowy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Sygnał okresowy, sygnał okresowo zmienny – pojęcie stosowane w elektronice, telekomunikacji, elektrotechnice, akustyce, automatyce, fizyce oraz innych dziedzinach nauki i techniki. Oznacza sygnał zależny od czasu, którego wartości powtarzają się w stałych odstępach, trwających przez czas zwany okresem. Sygnał taki można opisać okresową funkcją matematyczną.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Sygnałem okresowo zmiennym nazywa się każdą wielkość fizyczną x ( t ) {\displaystyle x(t)} zależną od czasu, jeżeli spełnia ona warunek

x ( t ) = x ( t + k T ) , {\displaystyle x(t)=x(t+kT),}

gdzie:

k = 1 , 2 , . . . {\displaystyle k=1,2,...} T {\displaystyle T} – ustalona wartość nazywana okresem sygnału.

Oznacza to, że wartości sygnału powtarzają się w odstępach czasu będących wielokrotnościami T . {\displaystyle T.} Sygnał taki jest funkcją okresową czasu.

Okres i częstotliwość | edytuj kod

Najmniejszą wartość T {\displaystyle T} o tej własności nazywamy okresem podstawowym lub okresem sygnału. Z okresem związana jest częstotliwość f {\displaystyle f} i pulsacja ω {\displaystyle \omega } (częstość kołowa):

f = 1 T {\displaystyle f={\frac {1}{T}}}

oraz

ω = 2 π ⋅ f . {\displaystyle \omega =2\pi \cdot f.}

Składowe harmoniczne | edytuj kod

Sygnał okresowo zmienny można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, który może być zapisany na przykład w następującej postaci:

x ( t ) = X 0 + ∑ n = 1 ∞ X n ⋅ sin ⁡ ( n ω t + φ n ) , {\displaystyle x(t)=X_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}\cdot \sin(n\,{\omega }t+\varphi _{n}),}

gdzie:

X 0 {\displaystyle X_{0}} – składowa stała, X n {\displaystyle X_{n}} – amplituda n-tej harmonicznej, φ n {\displaystyle \varphi _{n}} – przesunięcie fazowe n-tej harmonicznej.

Pierwsza harmoniczna nosi też nazwę składowej podstawowej. Sygnał, który zawiera tylko jedną harmoniczną, jest sygnałem sinusoidalnym o amplitudzie X 1 {\displaystyle X_{1}}

Wartość szczytowa | edytuj kod

Wartość szczytowa (ang. peak value), zwana też wartością maksymalną sygnału, jest określona jako:

X m a x = max | x ( t ) | . {\displaystyle X_{max}=\max |x(t)|.}

Wartość maksymalna sygnału sinusoidalnego nie posiadającego składowej stałej jest równa amplitudzie tego sygnału. Stosowane też bywa podobne pojęcie wartości międzyszczytowej (ang. peak-to-peak value):

X p p = max | x ( t ) > 0 | + max | x ( t ) < 0 | . {\displaystyle X_{pp}=\max |x(t)>0|+\max |x(t)<0|.}

Dla sygnału sinusoidalnego wartość międzyszczytowa jest równa podwojonej amplitudzie.

Wartość średnia | edytuj kod

Wartość średnia sygnału jest określona wzorem:

X m = 1 T ∫ 0 T x ( t ) d t . {\displaystyle X_{m}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,x(t)dt.}

Tak określona wartość średnia jest tożsama ze składową stałą X 0 {\displaystyle X_{0}} szeregu Fouriera tego sygnału (patrz wyżej). Sygnał okresowy symetryczny względem osi x = 0 {\displaystyle x=0} ma wartość średnią równą zeru, toteż używa się także średniej z wartości bezwzględnej (w matematyce i teorii sygnałów: pierwszy moment absolutny, w elektrotechnice: wartość średnia sygnału wyprostowanego), która dla sygnałów nierównych tożsamościowo zeru ma wartość dodatnią:

X e = 1 T ∫ 0 T | x ( t ) | d t . {\displaystyle X_{e}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,|x(t)|dt.}

Wartość skuteczna | edytuj kod

Wartość skuteczna (ang. RMS value) określa parametry energetyczne sygnału. W elektrotechnice najczęściej podaje się tę właśnie wartość, jeżeli mowa jest o prądzie lub napięciu zmiennym bez dodania określeń: średnie, chwilowe, maksymalne itp. Jest ona określona wzorem:

X s k = 1 T ∫ 0 T x 2 ( t ) d t . {\displaystyle X_{sk}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,x^{2}(t)dt}}.}

Wartość skuteczną można też wyrazić poprzez amplitudy składowych harmonicznych (współczynniki rozwinięcia sygnału w szereg Fouriera – patrz wyżej):

X s k = X 0 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ X n 2 . {\displaystyle X_{sk}={\sqrt {X_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}^{2}}}.}

Powyższy wzór jest treścią tożsamości Parsevala w teorii szeregów Fouriera.

Współczynniki bezwymiarowe | edytuj kod

Współczynnik kształtu | edytuj kod

Współczynnik kształtu (ang. waveform factor) jest stosunkiem wartości skutecznej do średniej z wartości bezwzględnej:

k k = X s k X e . {\displaystyle k_{k}={\frac {X_{sk}}{X_{e}}}.}

Współczynnik szczytu | edytuj kod

Współczynnik szczytu (ang. crest factor) podaje stosunek wartości maksymalnej (szczytowej) do wartości skutecznej sygnału:

k s z = X m a x X s k {\displaystyle k_{sz}={\frac {X_{max}}{X_{sk}}}}

Współczynnik zawartości harmonicznych | edytuj kod

Współczynnik zawartości harmonicznych, mierzy w pewien sposób odchyłkę sygnału od przebiegu sinusoidalnego. Stosowane są dwie różne definicje tego współczynnika:

h 1 = ∑ n = 2 ∞ X n 2 X 1 {\displaystyle h_{1}={\frac {\sqrt {\sum \limits _{n=2}^{\infty }X_{n}^{2}}}{X_{1}}}}

lub

h 2 = ∑ n = 2 ∞ X n 2 ∑ n = 1 ∞ X n 2 {\displaystyle h_{2}={\frac {\sqrt {\sum \limits _{n=2}^{\infty }X_{n}^{2}}}{\sqrt {\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}^{2}}}}}

(ta ostatnia wielkość bywa też nazywana współczynnikiem zniekształceń).

Wartości parametrów dla wybranych sygnałów okresowych | edytuj kod

Poniższa tabela podaje wartości wymienionych wyżej parametrów dla wybranych przebiegów okresowych. Przyjęto, że przebiegi pokazane w tabeli mają jednostkową wartość szczytową (amplitudę).

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Sygnał okresowy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy