Szereg Fouriera


Szereg Fouriera w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szereg Fourieraszereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań oraz przetwarzaniu sygnałów obrazu (kompresja jpeg) i dźwięku (kompresja mp3)[1].

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech dana będzie funkcja okresowa f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } o okresie T R + , {\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{+},} bezwzględnie całkowalna w przedziale T 2 , T 2 . {\displaystyle \left[{\frac {-T}{2}},{\frac {T}{2}}\right].}

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f {\displaystyle f} nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:

o współczynnikach określonych następującymi wzorami:

Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.

W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie ( T {\displaystyle T} oznacza okres funkcji) ω = 2 π T .   {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}.\ {}} ω {\displaystyle \omega } nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Przy zastosowaniu takiego oznaczenia powyższe wzory przyjmują postać:

Aproksymacja fali prostokątnej szeregiem Fouriera Aproksymacja fali piłokształtnej szeregiem Fouriera Aproksymacja fali trójkątnej szeregiem Fouriera

Własności | edytuj kod

Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.

Lemat I (całki pomocnicze) | edytuj kod

  • n {\displaystyle n} jest liczbą całkowitą
T T cos n ω x d x = { 0 gdy     n 0 2 T gdy     n = 0 , {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega xdx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq 0\\&2T&&{\text{gdy}}~~n=0\end{aligned}}\right.,} T T sin n ω x d x = 0. {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega xdx=0.}
  • m ,   n {\displaystyle m,\ n} są liczbami naturalnymi
T T cos n ω x cos m ω x d x = { 0 gdy     n m T gdy     n = m , {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\cos m\omega xdx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq m\\&T&&{\text{gdy}}~~n=m\end{aligned}}\right.,} T T sin n ω x sin m ω x d x = { 0 gdy     n m T gdy     n = m , {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega x\sin m\omega xdx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq m\\&T&&{\text{gdy}}~~n=m\end{aligned}}\right.,} T T sin n ω x cos m ω x d x = 0. {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega x\cos m\omega xdx=0.}

Lemat II | edytuj kod

1 2 + n = 1 N cos n α = sin ( N + 1 2 ) α 2 sin 1 2 α {\displaystyle {\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha ={\frac {\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha }{2\sin {\frac {1}{2}}\alpha }}}

Dowód | edytuj kod

1 2 + n = 1 N cos n α =   ( 1 2 + n = 0 N e i n α ) =   ( 1 2 + 1 e i ( N + 1 ) α 1 e i α ) = 1 2 + 1 | 1 e i α | 2 ( ( 1 e i ( N + 1 ) α ) ( 1 e i α ) ) = 1 2 + 1 ( 1 cos α ) 2 + sin 2 α ( 1 e i α e i ( N + 1 ) α + e i N α ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\;{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&\ \Re \left(-{\frac {1}{2}}+\sum _{n=0}^{N}e^{in\alpha }\right)\\=&\ \Re \left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1-e^{i(N+1)\alpha }}{1-e^{i\alpha }}}\right)\\=&-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{|1-e^{i\alpha }|^{2}}}\Re ((1-e^{i(N+1)\alpha })(1-e^{-i\alpha }))\\=&-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{(1-\cos \alpha )^{2}+\sin ^{2}\alpha }}\Re (1-e^{-i\alpha }-e^{i(N+1)\alpha }+e^{iN\alpha })\end{aligned}}}

więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):

1 2 + n = 1 N cos n α = 1 2 + 1 cos α cos ( N + 1 ) α + cos N α 2 ( 1 cos α ) = cos N α cos ( N + 1 ) α 2 ( 1 cos α ) = 2 sin ( N + 1 2 ) α sin 1 2 α 4 sin 2 1 2 α = sin ( N + 1 2 ) α 2 sin 1 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&-{\frac {1}{2}}+{\frac {1-\cos \alpha -\cos(N+1)\alpha +\cos N\alpha }{2(1-\cos \alpha )}}\\=&\;{\frac {\cos N\alpha -\cos(N+1)\alpha }{2(1-\cos \alpha )}}\\=&\;{\frac {2\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha \sin {\frac {1}{2}}\alpha }{4\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\alpha }}\\=&\;{\frac {\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha }{2\sin {\frac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}}

q. e. d.

Lemat III | edytuj kod

 Osobny artykuł: Lemat Riemanna.

Jeżeli f {\displaystyle f} jest funkcją ciągłą w przedziale a , b {\displaystyle [a,b]} z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to

lim n a b f ( x ) sin n x d x = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)\sin nx\,{\text{d}}x=0.}

Twierdzenie (Eulera–Fouriera) | edytuj kod

Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f {\displaystyle f} to współczynniki a k ,   b k {\displaystyle a_{k},\ b_{k}} wyrażają się wzorami (1.2), (1.3).

Dowód | edytuj kod

f ( x ) = a 0 2 + k = 1 ( a k cos k ω x + b k sin k ω x ) . {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos k\omega x+b_{k}\sin k\omega x\right).}

Mnożąc powyższą równość przez cos n ω x , {\displaystyle \cos n\omega x,} całkując szereg w granicach od T {\displaystyle -T} do T {\displaystyle T} (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:

T T f ( x ) cos n ω x d x = a 0 2 T T cos n ω x d x + k = 1 ( a k T T cos n ω x cos k ω x d x + b k T T cos n ω x sin k ω x d x ) . {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega x{\text{d}}x={\frac {a_{0}}{2}}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x{\text{d}}x+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\cos k\omega x{\text{d}}x+b_{k}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\sin k\omega x{\text{d}}x\right).}

Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że n k {\displaystyle n\neq k} (gdy n = 0 {\displaystyle n=0} zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:

T T f ( x ) cos n ω x d x = a n T . {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega x{\text{d}}x=a_{n}T.}

Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez sin n ω x {\displaystyle \sin n\omega x} )

Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera) | edytuj kod

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x 0 , {\displaystyle x_{0},} to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

Dowód | edytuj kod

Niech x 0 {\displaystyle x_{0}} będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy:

a n cos n ω x 0 + b n sin n ω x 0 = 1 T T T f ( x ) cos n ω x d x cos n ω x 0 + 1 T T T f ( x ) sin n ω x d x sin n ω x 0 = 1 T T T f ( x ) ( cos n ω x cos n ω x 0 + sin n ω x sin n ω x 0 ) d x = 1 T T T f ( x ) cos n ω ( x x 0 ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}&\;a_{n}\cos n\omega x_{0}+b_{n}\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega xdx\cos n\omega x_{0}+{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\sin n\omega xdx\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)(\cos n\omega x\cos n\omega x_{0}+\sin n\omega x\sin n\omega x_{0})dx\\=&\;{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx.\end{aligned}}}

Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:

S N = 1 2 T T T f ( x ) d x + n = 1 N 1 T T T f ( x ) cos n ω ( x x 0 ) d x = 1 T T T f ( x ) ( 1 2 + n = 1 N cos n ω ( x x 0 ) ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}&={\frac {1}{2T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)dx+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx\\&={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\left({\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\omega (x-x_{0})\right)dx.\end{aligned}}}

Stosując do tego wyrażenia lemat II, otrzymujemy następujący wzór:

S N = 1 T T T f ( x ) sin ω ( N + 1 2 ) ( x x 0 ) 2 sin ω 1 2 ( x x 0 ) d x . {\displaystyle S_{N}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)(x-x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}(x-x_{0})}}dx.}

Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

S N = 1 T T T f ( x + x 0 ) sin ω ( N + 1 2 ) x 2 sin ω 1 2 x d x . {\displaystyle S_{N}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x+x_{0}){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx.}

Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc f ( x ) = 1 , {\displaystyle f(x)=1,} mamy:

1 = 1 T T T sin ω ( N + 1 2 ) x 2 sin ω 1 2 x d x . {\displaystyle 1={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}{\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx.}

Mnożąc powyższą równość przez f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu, otrzymujemy:

Rozważmy następującą granicę:

lim x 0 f ( x + x 0 ) f ( x 0 ) 2 sin ω 1 2 x = lim x 0 f ( x + x 0 ) f ( x 0 ) x x 2 sin ω 1 2 x = f ( x 0 ) ω , {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x}}{\frac {x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}={\frac {f'(x_{0})}{\omega }},}

przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie x 0 . {\displaystyle x_{0}.}

Możemy określić następującą funkcję:

ϕ ( x ) = { f ( x + x 0 ) f ( x 0 ) 2 sin ω 1 2 x gdy     x 0 f ( x 0 ) ω gdy     x = 0 . {\displaystyle \phi (x)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}&&{\text{gdy}}~~x\neq 0\\&{\frac {f'(x_{0})}{\omega }}&&{\text{gdy}}~~x=0\end{aligned}}\right..}

Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki, wzór (2) możemy zapisać w postaci:

S N f ( x 0 ) = 1 T T T ϕ ( x ) sin ω ( N + 1 2 ) x d x . {\displaystyle S_{N}-f(x_{0})={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)xdx.}

Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:

lim N ( S N f ( x 0 ) ) = lim N 1 T T T ϕ ( x ) sin ω ( N + 1 2 ) x d x = 0 , {\displaystyle \lim _{N\to \infty }(S_{N}-f(x_{0}))=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)xdx=0,}

czyli:

lim N S N = f ( x 0 ) . {\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}=f(x_{0}).}

q. e. d.

Przypisy | edytuj kod

  1. Transformata Fouriera – prezentacja. [dostęp 2009-12-22].

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Szereg Fouriera" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy