Tangens

Funkcje trygonometryczne w encyklopedii

Funkcje trygonometryczne – funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych, będące przedmiotem badań trygonometrii.

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.

Spis treści

• 1 Definicje
  • 1.1 Definicja z elementów trójkąta prostokątnego
  • 1.2 Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw
  • 1.3 Definicja za pomocą szeregu Taylora
  • 1.4 Definicja za pomocą równań funkcyjnych
  • 1.5 Definicja za pomocą równań różniczkowych
  • 1.6 Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych
  • 1.7 Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych
  • 1.8 Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji
• 2 Własności
  • 2.1 Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej
    • 2.1.1 Przebieg zmienności funkcji
    • 2.1.2 Wykresy
    • 2.1.3 Wartości dla typowych kątów
    • 2.1.4 Wzory redukcyjne
    • 2.1.5 Podstawowe tożsamości trygonometryczne
    • 2.1.6 Pochodne funkcji trygonometrycznych
    • 2.1.7 Całki funkcji trygonometrycznych
  • 2.2 Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej
    • 2.2.1 Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej
    • 2.2.2 Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty
    • 2.2.3 Wzór Eulera
    • 2.2.4 Wykresy
  • 2.3 Związki z innymi funkcjami
    • 2.3.1 Funkcje odwrotne do trygonometrycznych
    • 2.3.2 Harmoniki
    • 2.3.3 Funkcje hiperboliczne
• 3 Niektóre zastosowania
  • 3.1 Geometria
    • 3.1.1 Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów
    • 3.1.2 Wzory na pole trójkąta
    • 3.1.3 Iloczyny wektorów
    • 3.1.4 Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe
    • 3.1.5 Geometria sferyczna
  • 3.2 Analiza matematyczna
    • 3.2.1 Szereg Fouriera
    • 3.2.2 Funkcja Weierstrassa
    • 3.2.3 Funkcja Dirichleta
  • 3.3 Teoria liczb
  • 3.4 Zastosowania poza matematyką
• 4 Historia
• 5 Polskie nazwy
• 6 Oznaczenia funkcji trygonometrycznych
• 7 Zobacz też
• 8 Przypisy
• 9 Bibliografia

Definicje | edytuj kod

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego | edytuj kod

Funkcje trygonometryczne można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

• sinus – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \sin }$ – stosunek długości przyprostokątnej ${\displaystyle a}$ leżącej naprzeciw kąta ${\displaystyle \alpha }$ i długości przeciwprostokątnej ${\displaystyle c;}$^[1]
• cosinus (lub kosinus) – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \cos }$ – stosunek długości przyprostokątnej ${\displaystyle b}$ przyległej do kąta ${\displaystyle \alpha }$ i przeciwprostokątnej ${\displaystyle c;}$^[1]
• tangens – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \operatorname {tg} }$ – stosunek długości przyprostokątnej ${\displaystyle a}$ leżącej naprzeciw kąta ${\displaystyle \alpha }$ i długości przyprostokątnej ${\displaystyle b}$ przyległej do tego kąta^[1];
• cotangens (kotangens) ${\displaystyle ({\tfrac {1}{\operatorname {tg} }})}$ – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \operatorname {ctg} }$ – stosunek długości przyprostokątnej ${\displaystyle b}$ przyległej do kąta ${\displaystyle \alpha }$ i długości przyprostokątnej ${\displaystyle a}$ leżącej naprzeciw tego kąta^[1];
• secans (sekans) ${\displaystyle ({\tfrac {1}{cos}})}$ – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \sec }$ – stosunek długości przeciwprostokątnej ${\displaystyle c}$ i długości przyprostokątnej ${\displaystyle b}$ przyległej do kąta ${\displaystyle \alpha ;}$ odwrotność cosinusa (nie mylić z funkcją odwrotną ${\displaystyle \arccos }$);
• cosecans (kosekans) ${\displaystyle ({\tfrac {1}{sin}})}$ – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \operatorname {cosec} }$ – stosunek długości przeciwprostokątnej ${\displaystyle c}$ i długości przyprostokątnej ${\displaystyle a}$ leżącej naprzeciw kąta ${\displaystyle \alpha ;}$ odwrotność sinusa (nie mylić z funkcją odwrotną ${\displaystyle \arcsin }$).

W innych krajach stosowane są inne nazwy funkcji trygonometrycznych.

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki^[2]:

Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:

• sinus versus^[3]:

• haversin (ang. half of the versine)^[4]:

• cosinus versus^[5]:

• exsecans^[6]:

Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi^[7][8][9].

Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw | edytuj kod

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego ${\displaystyle \theta }$ wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków^[10]:

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku ${\displaystyle DA}$ można przyjąć pole wycinka ${\displaystyle OBDA}$ – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do ${\displaystyle OBDA}$^[11].

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

• Sinus, czyli połowa długości cięciwy ${\displaystyle AB,}$ był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka^[12].
• Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, gdyż odcinek ${\displaystyle AE}$ jest styczny do okręgu.
• Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka ${\displaystyle OE,}$ odcinanego przez styczną (tangens).
• Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego ${\displaystyle \angle AOF.}$ Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek „ko-” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje^[13].

Definicja za pomocą szeregu Taylora | edytuj kod

Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne^[14]. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości^[15][16][17]:

gdzie ${\displaystyle B_{n}}$ to liczby Bernoulliego,

gdzie ${\displaystyle E_{n}}$ to liczby Eulera,

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

Definicja za pomocą równań funkcyjnych | edytuj kod

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych ${\displaystyle (s,c)}$ taka, że dla każdego ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} {:}}$

Tymi funkcjami są^[18]:

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować^[19] również jako jedyne funkcje ${\displaystyle s(x)}$ oraz ${\displaystyle c(x)}$ spełniające poniższe trzy warunki:

Definicja za pomocą równań różniczkowych | edytuj kod

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki^[20]:

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego^[20]

Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych | edytuj kod

Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych^[21]:

Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych | edytuj kod

Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych^[22][23][24]:

Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji | edytuj kod

Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego^[25].

Własności | edytuj kod

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej | edytuj kod

Przebieg zmienności funkcji | edytuj kod

W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Mają one wówczas następujące własności:

• Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.
• Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.
• Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci ${\displaystyle k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.
• Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,}$ a cotangens i cosecans w punktach postaci ${\displaystyle x=k\pi .}$ Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.

• Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału ${\displaystyle [-1,1].}$ Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru^[26] ${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty ).}$

• Maksymalną wartość, dla obu funkcji ${\displaystyle 1,}$ sinus przyjmuje w punktach ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi ,}$ a cosinus w punktach ${\displaystyle x=2k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.
• Minimalną wartość, dla obu funkcji ${\displaystyle -1,}$ sinus przyjmuje w punktach ${\displaystyle x=-{\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi ,}$ a cosinus w punktach ${\displaystyle x=\pi +2k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.

• Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci ${\displaystyle x=k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.
• Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.

• Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste: ${\displaystyle {\begin{array}{l l}\sin(-x)=-\sin x&\cos(-x)=\cos x\\\operatorname {tg} (-x)=-\operatorname {tg} x&\operatorname {ctg} (-x)=-\operatorname {ctg} x\\\sec(-x)=\sec x&\operatorname {cosec} (-x)=-\operatorname {cosec} x\end{array}}}$

• Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba ${\displaystyle 2\pi ,}$ a tangensa i cotangensa ${\displaystyle \pi }$^[27][28]: ${\displaystyle {\begin{array}{l l}\sin x=\sin(x+2k\pi )&\cos x=\cos(x+2k\pi )\\\operatorname {tg} x=\operatorname {tg} (x+k\pi )&\operatorname {ctg} x=\operatorname {ctg} (x+k\pi )\\\sec x=\sec(x+2k\pi )&\operatorname {cosec} x=\operatorname {cosec} (x+2k\pi )\end{array}}}$

• Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).

• Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. W pewnych przedziałach funkcje te są jednak różnowartościowe i można tam określić funkcje do nich odwrotne.

• Funkcje trygonometryczne zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi.
• Liczby ${\displaystyle \sin x}$ oraz ${\displaystyle \cos x}$ są liczbami algebraicznymi dla dowolnych liczb postaci ${\displaystyle x=r\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle r}$ jest liczbą wymierną^[29].

Wykresy | edytuj kod

Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą i cotangensoidą (kotangensoidą)^[28].

Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor ${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},0\right].}$ Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.

• Sinusoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\sin x}$

• Cosinusoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\cos x}$

• Tangensoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\operatorname {tg} x}$

• Cotangensoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} x}$

• Wykres funkcji secans ${\displaystyle y=\sec x={\frac {1}{\cos x}}}$

• Wykres funkcji cosecans ${\displaystyle y=\operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}}}$

Wartości dla typowych kątów | edytuj kod

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°^[30]:

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci ${\displaystyle {\tfrac {n\pi }{m}},n\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {N_{+}} }$ dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych działań arytmetycznych i pierwiastka kwadratowego wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$ liczba ${\displaystyle m}$ jest iloczynem potęgi dwójki i różnych liczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3, 5, 17, 257, 65537)^[31][32]. W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1°, gdyż ${\displaystyle 1^{\circ }={\tfrac {\pi }{180}},}$ a ${\displaystyle 180=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$ ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na ${\displaystyle m}$ jest identyczny jak warunek konstruowalności ${\displaystyle m}$-kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por. twierdzenie Gaussa-Wantzela).

Wzory redukcyjne | edytuj kod

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału ${\displaystyle [0,{\tfrac {\pi }{2}}),}$ czyli ${\displaystyle [0^{\circ },90^{\circ })}$^[33]:

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją kofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać ${\displaystyle 90^{\circ }\pm \alpha }$ bądź ${\displaystyle 270^{\circ }\pm \alpha ,}$ w przypadkach ${\displaystyle 0^{\circ }\pm \alpha =360^{\circ }\pm \alpha }$ oraz ${\displaystyle 180^{\circ }\pm \alpha }$ funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce według tabeli^[26]:

Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora:

W innych wersjach pierwszy wers brzmi:

Podstawowe tożsamości trygonometryczne | edytuj kod

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

• jedynka trygonometryczna^[34]:

• definicja tangensa i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i cotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa)^[34]:

• wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów^[34]:

• wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów^[34]:

• wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu^[35]:

• wzory na sinus i cosinus połowy argumentu^[36]:

• iloczyn w postaci sumy^[36]:

• wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne^[34][37]:

(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera)

Pochodne funkcji trygonometrycznych | edytuj kod

Zachodzą równości^[38]:

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

Wzory na ${\displaystyle n}$-te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane^{[39][40][41][42]}.

Całki funkcji trygonometrycznych | edytuj kod

Podstawowe całki to^[43]:

gdzie ${\displaystyle C\in \mathbb {R} .}$

Każda całka funkcji wymiernej postaci ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$ jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie^[44]:

wówczas:

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej | edytuj kod

Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej | edytuj kod

Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej:

• okresowość (w tym okres podstawowy),
• tożsamości trygonometryczne,
• miejsca zerowe,
• punkty nieokreśloności:
  • sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,
  • tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci ${\displaystyle {\tfrac {(2k-1)\pi }{2}},}$ a cotangens – punktów postaci ${\displaystyle k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest całkowita.

Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentu urojonego jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od ${\displaystyle 1,}$ w szczególności:

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie zespolonej.

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty | edytuj kod

Argument ${\displaystyle \varphi }$ oblicza się według wzorów:

gdzie ${\displaystyle \omega }$ to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

Wzór Eulera | edytuj kod

W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:

Wynika z niego, iż:

gdzie:

• ${\displaystyle e}$ jest stałą, zwaną podstawą logarytmu naturalnego,
• ${\displaystyle i}$ jest jednostką urojoną ${\displaystyle (i^{2}=-1).}$

Wzory te pozwalają na niemal mechaniczne upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

Wykresy | edytuj kod

Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej zostały oznaczone kolorami, zgodnie z umownym schematem. Odcienie barw określają argument, a jasność – moduł wyniku

• Funkcja sinus

• Funkcja cosinus

• Funkcja tangens

• Funkcja cotangens

• Funkcja secans

• Funkcja cosecans

• Kod kolorów

Związki z innymi funkcjami | edytuj kod

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych | edytuj kod

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale obejmującym jeden okres^[45].

Harmoniki | edytuj kod

Funkcje postaci

gdzie:

• ${\displaystyle A}$ – amplituda,
• ${\displaystyle \omega }$ – prędkość kątowa (pulsacja),
• ${\displaystyle \phi }$ – faza początkowa

są nazywane harmonikami^[46]. Funkcje sinus i cosinus są ich szczególnymi przypadkami. Harmoniki mają duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych. Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej częstotliwości.

Harmoniki stosowane są w fizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. drgań. Wiele z tych zjawisk, np. masa na sprężynie, wahadło przy niewielkim wychyleniu albo elektryczny obwód rezonansowy, w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat energii), opisuje równanie różniczkowe:

którego rozwiązaniami są harmoniki.

Funkcje hiperboliczne | edytuj kod

Jak podano w sekcji Definicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób^[19]:

Jeśli warunek W2 zmienić na:

wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są sinusem hiperbolicznym (sinh) i cosinusem hiperbolicznym (cosh)^[47].

Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także całkowy sinus hiperboliczny i całkowy cosinus hiperboliczny.

Także definicja na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego

należy wziąć hiperbolę o równaniu

Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka. Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny^[11].

Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości, podane w sekcji Wzór Eulera.

Analogiczne wzory występują dla funkcji hiperbolicznych^[48]:

Istnieją też analogie niektórych tożsamości trygonometrycznych^[48]:

Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone^[48].

Niektóre zastosowania | edytuj kod

Ze względu na obecność funkcji trygonometrycznych w najróżniejszych działach nauki i techniki nie jest możliwe podanie wszystkich ich zastosowań^[49]. Poniżej wymieniono więc tylko niektóre.

Geometria | edytuj kod

Bezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych w geometrii elementarnej jest wyznaczanie długości boków lub kątów trójkąta. Poniżej podano kilka innych zastosowań.

Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów | edytuj kod

W każdym trójkącie (przy oznaczeniach standardowych, zob. rysunek) zachodzą następujące równości:

Twierdzenie sinusów, inaczej twierdzenie Snelliusa^[50]:

(${\displaystyle R}$ jest promieniem okręgu opisanego)

Twierdzenie cosinusów, inaczej twierdzenie Carnota^[51]:

Twierdzenie tangensów, inaczej twierdzenie Regiomontana^[51]:

W geometrii sferycznej istnieje także twierdzenie haversinów, związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometryczną ${\displaystyle \operatorname {haversin} x=1-\cos {\tfrac {x}{2}},}$ pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na sferze^[7].

Wzory na pole trójkąta | edytuj kod

Wzory na pole trójkąta często wykorzystują funkcje trygonometryczne^[49]:

lub

lub

gdzie:

• ${\displaystyle a,b,c}$ to boki trójkąta,
• ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ to miary kątów o wierzchołkach leżących naprzeciw boków odpowiednio ${\displaystyle a,b}$ i ${\displaystyle c,}$
• ${\displaystyle R}$ to promień koła opisanego.

Iloczyny wektorów | edytuj kod

W geometrii i algebrze liniowej definiowane są iloczyny wektorów, m.in. iloczyny skalarny i wektorowy. Czasem konieczne jest obliczenie wartości iloczynu skalarnego lub wektorowego dla wektorów o znanych kierunkach, zwrotach i długościach. Wzory wykorzystują funkcje trygonometryczne kąta ${\displaystyle \theta }$ między wektorami:

• iloczyn skalarny^[52], ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta ,}$
• iloczyn wektorowy^[52], ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=(|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\sin \theta )\,{\vec {n}},}$

Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe | edytuj kod

Najczęściej w geometrii stosowany jest układ współrzędnych kartezjańskich. Niekiedy jednak wygodnie jest stosować inne układy, w których niektóre współrzędne są wyznaczone za pomocą kątów. Do takich układów należy układ współrzędnych biegunowych, układ współrzędnych sferycznych (jego zastosowaniem są np. współrzędne geograficzne) i układ współrzędnych walcowych. Wówczas przydatne są funkcje trygonometryczne, m.in. do przeliczania takich współrzędnych na współrzędne kartezjańskie.

Geometria sferyczna | edytuj kod

Funkcje trygonometryczne są ważnymi narzędziami geometrii sferycznej i jej zastosowań w astronomii, nawigacji i geodezji, gdzie służą m.in. do rozwiązywania trójkątów sferycznych.

Analiza matematyczna | edytuj kod

Szereg Fouriera | edytuj kod

Funkcje ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\tfrac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}},{\tfrac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}\right\}}$ tworzą dla dowolnego ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$ układ ortonormalny. Dzięki temu funkcje okresowe ${\displaystyle S(x)}$ spełniające tzw. warunki Dirichleta mogą być wyrażone w postaci tzw. szeregu Fouriera:

Można go również wyrazić za pomocą np. samych funkcji sinus. Poszczególne składowe tego szeregu nazywane są harmonicznymi. Szereg Fouriera odgrywa wielką rolę w fizyce, teorii drgań, a nawet teorii muzyki (zob. szereg harmoniczny (muzyka), alikwoty).

Funkcja Weierstrassa | edytuj kod

Za pomocą szeregu trygonometrycznego definiowana jest funkcja, która jest ciągła, jednak nie jest w żadnym punkcie różniczkowalna^[53]:

gdzie ${\displaystyle a}$ jest pewną liczbą z przedziału ${\displaystyle (0,1)}$ natomiast ${\displaystyle b}$ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek ${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3}{2}}\pi .}$

Funkcja Dirichleta | edytuj kod

Za pomocą funkcji cosinus definiowana jest tzw. funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 1 dla argumentów wymiernych i 0 dla niewymiernych^[54]:

Teoria liczb | edytuj kod

Choć teoria liczb jest dziedziną daleką od analizy matematycznej, także tutaj pojawiają się funkcje trygonometryczne. Na przykład^[55]:

gdzie ${\displaystyle \mu (n)}$ to tzw. funkcja Möbiusa.

Zastosowania poza matematyką | edytuj kod

Funkcje trygonometryczne mają wiele zastosowań w najróżniejszych dziedzinach nauki i techniki, takich jak na przykład:

• akustyka: np. analiza harmoniczna,
• architektura, mechanika: bezpośrednie zastosowanie do elementów trójkąta
• astronomia, nawigacja, kartografia, oceanografia: trygonometria sferyczna stosowana do powierzchni Ziemi
• astronomia i geodezja: paralaksa pozwala wyznaczać odległości bez przebywania ich, nawet tysięcy lat świetlnych.
• chemia i krystalografia: obliczanie odległości pomiędzy atomami w krysztale,
• ekonomia (w szczególności analiza rynków finansowych), probabilistyka, statystyka, meteorologia: np. analiza harmoniczna szeregów czasowych
• elektryka i elektronika: np. przebiegi sinusoidalne prądu zmiennego
• fizyka: np. ruch harmoniczny, prawo załamania światła, zob. też sekcję Harmoniki tego artykułu,
• fonetyka, analiza języka naturalnego: analiza harmoniczna głosek
• geodezja, inżynieria lądowa: w szczególności niwelacja trygonometryczna,
• geofizyka, sejsmologia: badanie fal sejsmicznych,
• grafika komputerowa: np. symulowanie odbicia i załamania światła w ray tracingu
• kompresja obrazu: np. przy kompresji JPEG
• kryptologia: w związku z zastosowaniami w teorii liczb,
• obrazowanie medyczne: tomografia komputerowa i USG wymagają obliczeń trygonometrycznych
• optyka: prawo załamania światła, polaryzacja fali,
• robotyka: np. algorytm sterowania sinusoidalnego,
• teoria chaosu^[56],
• teoria muzyki: np. alikwoty, szereg harmoniczny.

Historia | edytuj kod

Polskie nazwy | edytuj kod

Poloniści dopuszczają zarówno formy „cosinus, cotangens, cosecans, secans”, jak i „kosinus, kotangens, kosekans, sekans”. Słowniki języka polskiego skłaniają się ku tym drugim jako bardziej naturalnym dla języka polskiego^[57], jednak słowniki i encyklopedie matematyczne raczej nie używają form spolszczonych, podobnie w naukowej literaturze matematycznej są one rzadko spotykane.

Już pod koniec XVIII wieku Jan Śniadecki próbował wprowadzić całkowicie polskie odpowiedniki nazw i skrótów funkcji trygonometrycznych^[58][59] (w nawiasie proponowany skrót):

• sinus – wstawa (wst),
• cosinus – dostawa (dost),
• tangens – styczna (sty),
• cotangens – dostyczna (dosty),
• secans – sieczna (sie),
• cosecans – dosieczna (dosie).

Propagował je potem m.in. Andrzej Radwański w dziele „Słownik wyrazów grecko-łacińskich w poznawaniu Rody używanych… bezpłatnie dodany do dzieła Treść nauki przyrodzenia” wydanym w 1850 roku^[60]. Zwalczał tam wszelkie nazwy pochodzące z greki i łaciny.

W latach 1918–1924 polskie nazwy próbował forsować rektor Szkoły Politechnicznej we Lwowie, prof. Maksymilian Thullie (1853-1939). Stosował je w swoich pracach, np. w podręczniku Statyka budowli (wyd. IV, Lwów 1921), jednak nie przyjęły się^[61].

Oznaczenia funkcji trygonometrycznych | edytuj kod

W różnych krajach stosowane są różne skróty funkcji trygonometrycznych:

Secans i cosecans są generalnie rzadko używane, lecz wszędzie stosuje się skróty sec i cosec/csc. Jedynie we Francji często dodawany jest nad tymi skrótami akcent: séc/coséc^[69][70].

Zobacz też | edytuj kod

• cosinusy kierunkowe
• funkcja sinc
• kąt między dwiema krzywymi
• sinus i cosinus całkowy
• sinusoida zagęszczona

Przypisy | edytuj kod

1. ↑ ^{a b c d} Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 14, ISBN 978-83-940902-1-0 .
2. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, (w bibliografii), s. 230.
3. ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Versine, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2009-01-10]  (ang.).
4. ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Haversine, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2009-01-10]  (ang.).
5. ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Coversine, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2009-01-10]  (ang.).
6. ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Exsecant, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2009-01-10]  (ang.).
7. ↑ ^{a b} D. Zwillinger: (red.) Spherical Geometry and Trigonometry. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995, s. 468-471, § 6.4, seria: CRC Standard Mathematical Tables and Formulae.
8. ↑ Roger W. Sinnott. Virtues of the Haversine. „Sky and Telescope”. 68 (2), s. 159, 1984 (ang.). 
9. ↑ Chris Veness: Calculate distance and bearing between two Latitude/Longitude points using Haversine formula in JavaScript (ang.). www.movable-type.co.uk. [dostęp 2013-10-13].
10. ↑ Reinhardt i Soeder 2006 ↓, (w bibliografii), s. 182–183.
11. ↑ ^{a b} Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 253.
12. ↑ OwenO. Gingerich OwenO., Astronomia islamu, „Urania”, LX (8), sierpień 1989, s. 233, ISSN 0042-0794 .
13. ↑ David Bressoud, Joy Laine: Parallel Developments in Philosophy and Mathematics in India (ang.). s. 13. [dostęp 19 marca 2009].
14. ↑ W przypadku pierścieni nilpotentnych szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0.
15. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 417–418.
16. ↑ Reinhardt i Soeder 2006 ↓, s. 294.
17. ↑ Mathworld – Secans – series representation. [dostęp 10 stycznia 2009].
18. ↑ Paweł Głowacki: Analiza B. Wykład 3. Funkcje elementarne. [dostęp 19 marca 2008]. twierdzenie 20.
19. ↑ ^{a b} Reinhardt i Soeder 2006 ↓, s. 295.
20. ↑ ^{a b} Wolfram Mathworld – The best-known properties and formulas for trigonometric functions. [dostęp 19 marca 2009].
21. ↑ Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 299, seria: Monografie Matematyczne tom 10.
22. ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sine, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2009-01-02]  (ang.).
23. ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Tangent, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2009-01-02]  (ang.).
24. ↑ Cotangent: continued fraction representation (ang.). Mathworld. [dostęp 2 stycznia 2009].
25. ↑ Wolfram Mathworld – Connections within the group of trigonometric functions and with other function groups. [dostęp 19 marca 2009].
26. ↑ ^{a b} Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 231.
27. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 625.
28. ↑ ^{a b} Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 114–116.
29. ↑ Jörg Jahnel: When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number? (ang.). s. 3. [dostęp 2015-12-28]. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-10-02)].
30. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 233.
31. ↑ Wolfram Mathworld – Sine: Specific values. [dostęp 19 marca 2009].
32. ↑ Wolfram Mathworld – Tangent: Specific values. [dostęp 19 marca 2009].
33. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 232.
34. ↑ ^{a b c d e} Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 234.
35. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 235.
36. ↑ ^{a b} Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 236.
37. ↑ Słownik encyklopedyczny – matematyka, s. 93–94.
38. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 397.
39. ↑ Tangent differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
40. ↑ Cotangent differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
41. ↑ Secant differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
42. ↑ Cosecant differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
43. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 426.
44. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 438.
45. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 117.
46. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 237.
47. ↑ Reinhardt i Soeder 2006 ↓, s. 297.
48. ↑ ^{a b c} Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 164. ISBN 83-204-0920-9.
49. ↑ ^{a b} Wolfram Mathworld – Introduction to the trigonometric functions. [dostęp 19 marca 2009].
50. ↑ Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 239.
51. ↑ ^{a b} Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 240.
52. ↑ ^{a b} Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 650.
53. ↑ Paul Du Bois-Reymond. Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen. „J. Reine Angew. Math”. 79, s. 21–37, 1875. 
54. ↑ Wolfram Mathworld – The Dirichlet function. [dostęp 19 marca 2009].
55. ↑ Mathworld – MoebiusMu[n – Series representations]. [dostęp 10 stycznia 2009].
56. ↑ Mathworld – Logistic equation solution (ang.). [dostęp 10 stycznia 2009].
57. ↑ Hasło cosinus w słowniku języka polskiego PWN. [dostęp 12 kwietnia 2008].
58. ↑ Jan Śniadecki: Trygonometrya kulista analitycznie wyłożona. Wyd. 2. 1820.
59. ↑ Maksymilian Tytus Huber: Pisma. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
60. ↑ Mateusz Pasternak: Anegdoty matematyczne. [dostęp 12 kwietnia 2008].
61. ↑ Roman Ciesielski, Katarzyna Tyńska: Nasza Politechnika: Izydor Stella-Sawicki. [dostęp 12 kwietnia 2008].
62. ↑ ^{a b c d} Max Fogiel: Handbook of mathematical, scientific, and engineering formulas, tables, functions, graphs, transforms. Research and Education Association, 1994, s. 213. ​ISBN 0-87891-521-4​, ​ISBN 978-0-87891-521-7​. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
63. ↑ ^{a b c d} Anthony Nicolaides: Pure Mathematics. Wyd. 3. Pass Publications, 2007, s. 42. ​ISBN 1-872684-87-4​, ​ISBN 978-1-872684-87-1​. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
64. ↑ ^{a b} Journal of engineering for industry. American Society of Mechanical Engineers, 1969. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
65. ↑ Felix Klein: Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Cosimo, Inc., 2007, s. 180. ​ISBN 1-60206-647-7​, ​ISBN 978-1-60206-647-2​. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
66. ↑ ^{a b c d} Zhi-shu He Tian: 數學定理、公式暨習題詳解. 五南圖書出版股份有限公司, 2007, s. 133. ​ISBN 957-11-4564-5​, ​ISBN 978-957-11-4564-8​. [dostęp 22 marca 2009]. (chiń.)
67. ↑ ^{a b} Ke xue shi ji kan. Ke xue chu ban she. [dostęp 23 marca 2009]. (chiń.)
68. ↑ ^{a b c d} Weikko Aleksanteri Heiskanen, Seppo Härmälä: Maastomittaus ja kartoitus. W. Söderström, 1972. [dostęp 23 marca 2009]. (fiń.)
69. ↑ ^{a b c d e} Jean Baptiste, Joseph Delambre: Histoire de l’astronomie du moyen âge. V. Courcier, 1819, s. 462. [dostęp 22 marca 2009]. (fr.)
70. ↑ ^{a b c d e} Pascal Dupont: Exercices de mathématiques: Volume 1, Algèbre et géométrie. Wyd. 2. De Boeck Université, 2005, s. 98. ​ISBN 2-8041-4312-0​, ​ISBN 978-2-8041-4312-1​. [dostęp 22 marca 2009].
71. ↑ ^{a b} Gilles Desbiens: Trigonométrie du triangle rectangle (fr.). [dostęp 22 marca 2009]. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-02-20)].
72. ↑ ^{a b} André Caillemer, Catherine Le Cocq: Astronomie de position, géodésie. Wyd. 2. Editions TECHNIP, 1998, s. 187. ​ISBN 2-7108-0439-5​, ​ISBN 978-2-7108-0439-0​. [dostęp 22 marca 2009]. (fr.)
73. ↑ ^{a b c d} Arenas Solá: Matemáticas: fichas de la asignatura. Edicions Universitat Barcelona, s. 24. ​ISBN 84-475-3206-2​, ​ISBN 978-84-475-3206-3​. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
74. ↑ ^{a b c d} James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, Héctor Vidaurri, Alejandro Alfaro, María Bruna, Josefina Anzures, Francisco Sánchez Fragoso: Precálculo: Matemáticas para el cálculo. Wyd. 5. Cengage Learning Editores, 2007, s. 411. ​ISBN 970-686-638-8​, ​ISBN 978-970-686-638-7​. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
75. ↑ ^{a b} Lira Contreras, Ana Rosa: Geometria y Trigonometria. Ediciones Umbral, s. 117. ​ISBN 970-9758-34-9​, ​ISBN 978-970-9758-34-4​. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
76. ↑ ^{a b} Salvador Guillén Vázquez: Manual de matemáticas para acceso a la Universidad. Editorial Ramón Areces, 1991, s. 1704. ​ISBN 84-8004-006-8​, ​ISBN 978-84-8004-006-8​. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
77. ↑ ^{a b c d} Jean-Pierre Daems, Edward Jennekens, Valentijn Van Hooteghem: Argument 4-5 – Goniometrie – Driehoeksmeting. Uitgeverij De Boeck, 2004, s. 211. ​ISBN 90-455-0674-2​, ​ISBN 978-90-455-0674-6​. [dostęp 23 marca 2009].
78. ↑ ^{a b c d} Sulistiyono, Sri Kurnianingsih, Kuntarti: Matematika Sma Dan Ma untuk Kelas XI Semester 1. Jakarta: ESIS, s. 172. ​ISBN 979-734-502-5​, ​ISBN 978-979-734-502-0​. ISBN 979-734-502-5. [dostęp 22 marca 2009]. (indonez.)
79. ↑ ^{a b c d} 信州大学. 工学部: 信州大学工学部紀要. 信州大学工学部, 1981. [dostęp 22 marca 2009]. (jap.)
80. ↑ ^{a b c d} Yong-un Kim: Tongyang ŭi kwahak kwa sasang: Hanʼguk kwahak ŭi kanŭngsŏng ŭl chʻajasŏ. Ilchisa, 1984. [dostęp 23 marca 2009]. (kor.)
81. ↑ ^{a b c d} Litovskiĭ fizicheskiĭ sbornik. Gos. izd-vo polit. i nauch. lit-ry, 1984. [dostęp 23 marca 2009]. (lit.)
82. ↑ ^{a b c d} Johann Mutschmann, Fritz Stimmelmayr, Werner Knaus: Taschenbuch der Wasserversorgung. Vieweg+Teubner Verlag, 2007, s. 873. ​ISBN 3-8348-0012-0​, ​ISBN 978-3-8348-0012-1​. [dostęp 22 marca 2009]. (niem.)
83. ↑ ^{a b} Hans Geiger, Karl Scheel: Handbuch der Physik. Julius Springer, 1928. [dostęp 22 marca 2009]. (niem.)
84. ↑ ^{a b c} Memórias da Academia das ciências de Lisboa, classe de ciências. Lisbona: 1967. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
85. ↑ ^{a b c d} Dubbel Manual Da Construcao de Maquinas. Hemus, s. 68. ​ISBN 85-289-0270-6​, ​ISBN 978-85-289-0270-9​. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
86. ↑ ^{a b} Antônio Gonçalves, Moreira Couto: Geometria descritiva e insolação. 1961. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
87. ↑ ^{a b c d} Тесты и экзаменационные задания по математике за курс средней школы (ЕГЭ): Учебное пособие. Издательский дом „Питер”, s. 160. ​ISBN 5-469-00278-0​, ​ISBN 978-5-469-00278-9​. [dostęp 22 marca 2009]. (ros.)
88. ↑ ^{a b c d} Orta Doğu: Isi transferí. [dostęp 23 marca 2009]. (tur.)
89. ↑ ^{a b c d} Mykola Platonovych Bahan: Ukraïnsʹka radi͡a͡nsʹka entsyklopedii͡a͡. Akademii͡a nauk Ukr. Radi͡ansʹkoï Sot͡sialistichnoï Respubliky, 1959. [dostęp 22 marca 2009]. (ukr.)
90. ↑ ^{a b c d} A Magyar Tudományos Akadémia Matematikai és Fizikai Tudományok Ostályának kózleményei. 1974. [dostęp 22 marca 2009]. (węg.)
91. ↑ ^{a b c d} Pierangelo Andreini: Manuale dell’ingegnere meccanico. Wyd. 2. Hoepli Editore, 2002, s. 16. ​ISBN 88-203-3380-5​, ​ISBN 978-88-203-3380-5​. [dostęp 22 marca 2009]. (wł.)
92. ↑ ^{a b c d} James Stewart: Calcolo. Funzioni di una variabile. Apogeo Editore, 2001, s. 222. ​ISBN 88-7303-747-X​, ​ISBN 978-88-7303-747-7​. [dostęp 22 marca 2009]. (wł.)

Bibliografia | edytuj kod

• Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976.
• Lidia Filist, Artur Malina, Alicja Solecka: Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wydawnictwo Europa, 1998. ISBN 83-85336-06-0.
• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. III. Warszawa: PWN, 1954.
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2006. ISBN 83-7469-189-1.

• LCCN: sh85137518
• GND: 4186137-1
• NDL: 00570156
• BNCF: 32484

Na podstawie artykułu: "Tangens" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy