Tensor momentu bezwładności


Tensor momentu bezwładności w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Tensor momentu bezwładnościtensor drugiego rzędu opisujący moment bezwładności. Występuje on w równaniu wiążącym moment pędu z prędkością kątową dla danego ciała

L = I ^ ω , {\displaystyle {\vec {L}}={\hat {I}}{\vec {\omega }},}

gdzie:

L {\displaystyle {\vec {L}}} – moment pędu, I ^ {\displaystyle {\hat {I}}} – tensor momentu bezwładności, ω {\displaystyle {\vec {\omega }}} – prędkość kątowa.

Tensor bezwładności zapisany jako macierz wygląda następująco

I = I x x I x y I x z I y x I y y I y z I z x I z y I z z . {\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}.}

Współczynniki diagonalne (leżące na głównej przekątnej) nazywamy momentami głównymi, natomiast pozadiagonalne momentami dewiacji.

Wartości współczynników tensora momentu bezwładności, w przypadku dyskretnego rozkładu masy, definiuje się przez

I i j   = d e f   k m k ( r k 2 δ i j r k i r k j ) , {\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}\delta _{ij}-r_{ki}r_{kj}),}

gdzie:

δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} jest deltą Kroneckera, r k 1 = x k , {\displaystyle r_{k1}=x_{k},} r k 2 = y k , {\displaystyle r_{k2}=y_{k},} r k 3 = z k , {\displaystyle r_{k3}=z_{k},} r k {\displaystyle r_{k}} – odległość punktu od początku układu współrzędnych, spełnia on zależność: r k 2 = x k 2 + y k 2 + z k 2 . {\displaystyle r_{k}^{2}=x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+z_{k}^{2}.}

Rozpisując powyższy wzór na składowe, otrzymujemy wzory na momenty główne

I x x = k m k ( y k 2 + z k 2 ) = k m k ( r k 2 x k 2 ) , {\displaystyle I_{xx}=\sum _{k}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-x_{k}^{2}),} I y y = k m k ( z k 2 + x k 2 ) = k m k ( r k 2 y k 2 ) , {\displaystyle I_{yy}=\sum _{k}m_{k}(z_{k}^{2}+x_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-y_{k}^{2}),} I z z = k m k ( x k 2 + y k 2 ) = k m k ( r k 2 z k 2 ) {\displaystyle I_{zz}=\sum _{k}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-z_{k}^{2})}

oraz momenty dewiacyjne

I x y = I y x = k m k x k y k , {\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=-\sum _{k}m_{k}x_{k}y_{k},} I y z = I z y = k m k y k z k , {\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=-\sum _{k}m_{k}y_{k}z_{k},} I z x = I x z = k m k z k x k , {\displaystyle I_{zx}=I_{xz}=-\sum _{k}m_{k}z_{k}x_{k},}

gdzie:

x k , {\displaystyle x_{k},} y k , {\displaystyle y_{k},} z k {\displaystyle z_{k}} składowe wektora wodzącego k {\displaystyle k} -tego punktu, m k {\displaystyle m_{k}} – masa k {\displaystyle k} -tego punktu.

Postać dla rozkładu ciągłego z gęstością masy ρ ( x , y , z ) {\displaystyle \rho (x,y,z)} o objętości V : {\displaystyle V{:}}

I i j   = d e f   V ρ ( x , y , z ) ( r 2 δ i j r i r j ) d v . {\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{V}\rho (x,y,z)(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})dv.}

Tensor ten jest tensorem symetrycznym (jego macierz jest symetryczna).

Suma składników diagonalnych jest niezależna od wyboru kierunku osi układu współrzędnych. Dowód dla układu punktów:

I x x + I y y + I z z = k m k ( y k 2 + z k 2 ) + k m k ( z k 2 + x k 2 ) + k m k ( x k 2 + y k 2 ) = 2 k m k r k 2 . {\displaystyle I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=\sum _{k}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})+\sum _{k}m_{k}(z_{k}^{2}+x_{k}^{2})+\sum _{k}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})=2\sum _{k}m_{k}r_{k}^{2}.}

Zobacz też | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Tensor momentu bezwładności" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy