Tensor naprężeń

Naprężenie w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Tensor naprężeń) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Fragment kątomierza z tworzywa sztucznego. Kolorowe wzory ilustrują rozkład naprężeń.

Naprężenie – miara intensywności powierzchniowej sił wewnętrznych, występujących w pewnym punkcie przekroju ośrodka ciągłego. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie (całkowite) s → {\displaystyle {\vec {s}}} w dowolnym punkcie przekroju zależy od kierunku normalnej zewnętrznej n → {\displaystyle {\vec {n}}} do tego przekroju oraz wartości i kierunku działającej na niego elementarnej siły Δ F → . {\displaystyle \Delta {\vec {F}}.} Naprężenie oblicza się ze wzoru

s → = lim Δ A → 0 Δ F → Δ A . {\displaystyle {\vec {s}}=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta {\vec {F}}}{\Delta A}}.}

Wektor ten można rozłożyć na dwie składowe:

s → = σ n n → + τ → , {\displaystyle {\vec {s}}=\sigma _{n}{\vec {n}}+{\vec {\tau }},}

gdzie:

s → {\displaystyle {\vec {s}}} – wypadkowy wektor naprężenia, Δ F → {\displaystyle \Delta {\vec {F}}} – wypadkowy wektor elementarnych sił wewnętrznych działających na elementarną powierzchnię Δ A , {\displaystyle \Delta A,} A {\displaystyle A} – pole przekroju, σ n {\displaystyle \sigma _{n}} – składowa normalna (prostopadła do przekroju), n → {\displaystyle {\vec {n}}} – wektor normalny do powierzchni, τ → {\displaystyle {\vec {\tau }}} – składowa styczna, ścinająca (równoległa do przekroju).

Spis treści

Kartezjański układ współrzędnych | edytuj kod

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

W każdym punkcie ciała, w którym występuje stan naprężenia[1], można wprowadzić dowolnie zorientowany prostokątny, kartezjański układ współrzędnych. Wykonując trzy przekroje prostopadłe do tych osi, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia. Są to kolejno:

σ x , τ x y , τ x z , σ y , τ y x , τ y z , σ z , τ z x , τ z y . {\displaystyle \sigma _{x},\;\tau _{xy},\;\tau _{xz},\;\sigma _{y},\;\tau _{yx},\;\tau _{yz},\;\sigma _{z},\;\tau _{zx},\;\tau _{zy}.}

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest „na zewnątrz” otoczenia punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład dla powierzchni „górnej” (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z {\displaystyle z} można napisać:

s → = σ z k → + τ z x i → + τ z y j → = σ n → + τ → , {\displaystyle {\vec {s}}=\sigma _{z}{\vec {k}}+\tau _{zx}{\vec {i}}+\tau _{zy}{\vec {j}}=\sigma {\vec {n}}+{\vec {\tau }},}

gdzie:

k → = n → {\displaystyle {\vec {k}}={\vec {n}}} – wersor osi z , {\displaystyle z,} a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni; i → , j → {\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}}} – wersory osi odpowiednio x {\displaystyle x} i y . {\displaystyle y.}

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące równości:

τ x y = τ y x , {\displaystyle \tau _{xy}=\tau _{yx},} τ x z = τ z x , {\displaystyle \tau _{xz}=\tau _{zx},} τ y z = τ z y . {\displaystyle \tau _{yz}=\tau _{zy}.}

W rozważanym punkcie ciała można tak zorientować układ współrzędnych, aby naprężenia styczne były równe zeru, a niezerowe pozostawały jedynie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające im niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne: σ 1 ⩽ σ 2 ⩽ σ 3 , {\displaystyle \sigma _{1}\leqslant \sigma _{2}\leqslant \sigma _{3},} przy czym σ 1 = σ m i n , σ 3 = σ m a x . {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{min},\;\sigma _{3}=\sigma _{max}.}

Wyznaczanie kierunków naprężeń głównych ma zasadnicze znaczenie na przykład przy projektowaniu elementów i konstrukcji żelbetowych, przy projektowaniu których zbrojenie rozmieszcza się zgodnie z kierunkami maksymalnych naprężeń rozciągających.

Zapis tensorowy | edytuj kod

Naprężenie dla danej powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ {\displaystyle \sigma } reprezentowany przez macierz zawierającą składowe stanu naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem).

Badając pod uwagę równowagę elementarnego sześcianu i zakładając że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909[2]), dowodzi się, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: σ i j = σ j i . {\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}.}

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

σ i j = σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z {\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}\quad {}} lub σ i j = σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 , {\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}},}

gdzie:

σ x ,   σ y ,   σ z {\displaystyle \sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z}} – naprężenia normalne, τ x y ,   τ x z ,   τ y z {\displaystyle \tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz}} – naprężenia ścinające (styczne).

Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe | edytuj kod

Każdy stan naprężenia można zawsze rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator (tensor kulisty) – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – wywołuje tylko zmianę objętości (gęstości) ciała. Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – wywołuje tylko zmianę postaci ciała: sześcian zmienia się w dwuskośny równoległościan bez zmian długości krawędzi[2]. σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 = σ 0 0 0 0 σ 0 0 0 0 σ 0 ⏟ aksjator {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}\sigma _{0}&0&0\\0&\sigma _{0}&0\\0&0&\sigma _{0}\end{bmatrix}} _{\text{aksjator}}} + σ 11 − σ 0 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 − σ 0 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 − σ 0 ⏟ dewiator , {\displaystyle {}+\underbrace {\begin{bmatrix}\sigma _{11}-\sigma _{0}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\sigma _{0}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\sigma _{0}\end{bmatrix}} _{\text{dewiator}},} gdzie: σ 0 = σ 11 + σ 22 + σ 33 3 . {\displaystyle \sigma _{0}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}.}

Niezmienniki stanu naprężenia | edytuj kod

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, ma trzy niezmienniki[3], czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych

I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 = const , {\displaystyle I_{1}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}=\operatorname {const} ,} I 2 = σ 1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ 3 + σ 3 ⋅ σ 1 = const , {\displaystyle I_{2}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}+\sigma _{2}\cdot \sigma _{3}+\sigma _{3}\cdot \sigma _{1}=\operatorname {const} ,} I 3 = σ 1 ⋅ σ 2 ⋅ σ 3 = const , {\displaystyle I_{3}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \sigma _{3}=\operatorname {const} ,}

w których przez σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{1},\;\sigma _{2},\;\sigma _{3}} oznaczono naprężenia główne w rozważanym punkcie ciała.

 Osobny artykuł: Naprężenie główne.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. ↑ Rozważając punkt, ma się na myśli sześcian elementarny o nieskończenie małej krawędzi.
  2. ↑ a b Andrzej Gawęcki: Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych. Alma Mater, 2003, s. część 1, s. 3, 10.
  3. ↑ A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 1985, s. 36.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (wielkość fizyczna):
Na podstawie artykułu: "Tensor naprężeń" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy