Teoria plastycznego płynięcia


Teoria plastycznego płynięcia w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Teoria płynięcia plastycznego – aktualnie najpowszechniej używany sposób opisu materiałów wykazujących cechy plastyczne.

Teorię płynięcia plastycznego formułuje się nie w odkształceniach, a w prędkościach odkształceń. Jednak, ponieważ zachowanie plastyczne jest uważane za niezależne od czasu rzeczywistego więc czas w plastyczności jest pseudoczasem, czyli dowolną monotoniczną funkcją. Prędkości odkształceń rozumiane są jako pochodne nie względem czasu rzeczywistego, ale pseudoczasu.

Spis treści

Powierzchnia plastyczności | edytuj kod

Powierzchnia plastyczności jest geometrycznym przedstawieniem równania opisującego kryterium uplastycznienia. Warunek plastyczności jest warunkiem zależnym od stanu naprężenia

F ( σ i j ) = 0 , {\displaystyle F(\sigma _{ij})=0,}

więc powierzchnia plastyczności jest hiperpowierzchnią w przestrzeni sześciu naprężeń. Takiej powierzchni nie można narysować, natomiast możemy rysować jej przekroje, rzuty bądź przypadki szczególne.

Interpretacja powierzchni plastyczności mówi, że punkt reprezentujący stan naprężenia może być wewnątrz powierzchni ( F ( σ i j ) < 0 ) {\displaystyle (F(\sigma _{ij})<0)} i wtedy materiał jest w stanie sprężystym, bądź na powierzchni F ( σ i j ) = 0 {\displaystyle F(\sigma _{ij})=0} a wtedy może wystąpić proces plastyczny. Punkt reprezentujący stan naprężenia nie może wyjść poza powierzchnię, więc równanie powierzchni plastyczności może być jednocześnie traktowane jako ograniczenie dla stanu naprężenia.

W przypadku plastyczności idealnej powierzchnia jest stała. W przypadku materiału ze wzmocnieniem (bądź osłabieniem) równanie powierzchni musi zawierać opis jej ewolucji co geometrycznie odpowiada rozszerzaniu się, przesuwaniu lub kurczeniu powierzchni.

Równanie płynięcia | edytuj kod

Rozkład tensora prędkości odkształcenia na część sprężystą i plastyczną

ϵ ˙ i j = ϵ ˙ i j e + ϵ ˙ i j p l . {\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{ij}={\dot {\epsilon }}_{ij}^{e}+{\dot {\epsilon }}_{ij}^{pl}.}

Materiał idealnie sprężysto-plastyczny HMH | edytuj kod

Dla tego materiału kryterium uplastycznienia jest funkcją jedynie dewiatora naprężenia, więc zachowanie aksjatorów naprężenia i odkształcenia opisuje prawo Hooke’a. Warunek plastyczności może być zapisany:

F ( σ i j ) = s i j s i j 2 3 σ y 2 = 0. {\displaystyle F(\sigma _{ij})=s_{ij}\;s_{ij}-{\frac {2}{3}}\sigma _{y}^{2}=0.}

Zachowania plastyczne są formułowane dla dewiatora naprężenia s i j {\displaystyle s_{ij}} oraz dewiatora (prędkości) odkształcenia e ˙ i j . {\displaystyle {\dot {e}}_{ij}.}

Najprostsze równanie płynięcia ma postać:

e ˙ i j p l = λ s i j , {\displaystyle {\dot {e}}_{ij}^{pl}=\lambda s_{ij},}

co oznacza, że każda składowa tensora prędkości odkształceń plastycznych jest proporcjonalna do odpowiedniej składowej dewiatora tensora naprężenia. Sama wartość λ {\displaystyle \lambda } może być uważana za mnożnik Lagrange’a wynikły z narzucenia ograniczeń na stan naprężenia.

Równanie to obowiązuje tylko dla stanów naprężenia będących na powierzchni plastyczności F ( σ i j ) = 0. {\displaystyle F(\sigma _{ij})=0.}

Część sprężysta ma postać:

e ˙ i j e = 1 2 μ s ˙ i j , {\displaystyle {\dot {e}}_{ij}^{e}={\frac {1}{2\mu }}\;{\dot {s}}_{ij},}

gdzie μ {\displaystyle \mu } jest jedną ze stałych Lamégo równą modułowi Kirchhoffa.

Całkowita wartość prędkości odkształcenia wynosi zatem:

e ˙ i j = 1 2 μ s ˙ i j + λ s i j . {\displaystyle {\dot {e}}_{ij}={\frac {1}{2\mu }}\;{\dot {s}}_{ij}+\lambda s_{ij}.}

Mnożąc obie strony równania przez s i j , {\displaystyle s_{ij},} otrzymujemy:

s i j e ˙ i j = 1 2 μ s i j s ˙ i j + λ s i j s i j . {\displaystyle s_{ij}{\dot {e}}_{ij}={\frac {1}{2\mu }}\;s_{ij}{\dot {s}}_{ij}+\lambda s_{ij}s_{ij}.}

Ponieważ F ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {F}}=0} to s i j s ˙ i j = 0 , {\displaystyle s_{ij}{\dot {s}}_{ij}=0,} więc dysponując warunkiem plastyczności można wyznaczyć λ {\displaystyle \lambda } jako funkcję e ˙ i j . {\displaystyle {\dot {e}}_{ij}.}

Stowarzyszone prawo płynięcia | edytuj kod

Bardziej ogólnym przypadkiem jest prawo płynięcia postaci:

ϵ ˙ i j p l = λ F σ i j , {\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{ij}^{pl}=\lambda {\frac {\partial F}{\partial \sigma _{ij}}},}

gdzie F {\displaystyle F} jest równaniem powierzchni plastyczności.

Można łatwo wykazać, że HMH jest przypadkiem szczególnym stowarzyszonego prawa płynięcia.

Niestowarzyszone prawo płynięcia | edytuj kod

Definiuje się drugą powierzchnię G ( σ i j ) = 0 {\displaystyle G(\sigma _{ij})=0} w sposób analogiczny do powierzchni plastyczności. Osiągnięcie stanu plastycznego jest określane poprzez warunek F ( σ i j ) = 0 {\displaystyle F(\sigma _{ij})=0} natomiast równanie płynięcia jest opisane przez

ϵ ˙ i j p l = λ G σ i j , {\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{ij}^{pl}=\lambda {\frac {\partial G}{\partial \sigma _{ij}}},}

czyli kierunek prostopadły do powierzchni G ( σ i j ) . {\displaystyle G(\sigma _{ij}).}

W efekcie kierunek płynięcia plastycznego ϵ ˙ i j p l {\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{ij}^{pl}} na ogół nie jest prostopadły do powierzchni F ( σ i j ) . {\displaystyle F(\sigma _{ij}).}

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Bibliografia | edytuj kod

  • Jacek Skrzypek: Plastyczność i pełzanie. Teoria, zastosowania, zadania. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986. ISBN 83-01-06220-7.
  • Zdzisław Gabryszewski: Teoria sprężystości i plastyczności. Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 2001. ISBN 83-7085-534-2.
  • Tadeusz Bednarski: Mechanika plastycznego płynięcia w zarysie. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1995. ISBN 83-01-11777-X.
Na podstawie artykułu: "Teoria plastycznego płynięcia" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy