Tożsamości trygonometryczne


Tożsamości trygonometryczne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Tożsamości trygonometryczne – podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

Spis treści

Tożsamości pitagorejskie | edytuj kod

 Osobny artykuł: jedynka trygonometryczna.

Wzór

sin 2 x + cos 2 x = 1 , {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,}

jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często jedynką trygonometryczną bądź trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa.

Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

sec 2 x tg 2   x = 1 {\displaystyle \sec ^{2}x-\operatorname {tg} ^{2}\ x=1} cosec 2 x ctg 2   x = 1 {\displaystyle \operatorname {cosec} ^{2}x-\operatorname {ctg} ^{2}\ x=1}

Okresowość funkcji | edytuj kod

Funkcje trygonometryczne są okresowe ( k Z ) : {\displaystyle (k\in \mathbb {Z} ){:}}

sin x = sin ( x + 2 k π ) tg x = tg ( x + k π ) cos x = cos ( x + 2 k π ) ctg x = ctg ( x + k π ) {\displaystyle {\begin{array}{l}\sin x=\sin(x+2k\pi )&\operatorname {tg} x=\operatorname {tg} (x+k\pi )\\\cos x=\cos(x+2k\pi )&\operatorname {ctg} x=\operatorname {ctg} (x+k\pi )\end{array}}}

Definicje tangensa i cotangensa | edytuj kod

tg x = sin x cos x , dla  x π 2 + k π , gdzie k Z {\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin x}{\cos x}},\quad {\text{dla }}x\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,\quad {\text{gdzie k}}\in \mathbb {Z} } ctg x = cos x sin x , dla  x k π , gdzie k Z {\displaystyle \operatorname {ctg} x={\frac {\cos x}{\sin x}},\quad {\text{dla }}x\neq k\pi ,\quad {\text{gdzie k}}\in \mathbb {Z} } lim x x 0 ±   ctg x = lim x x 0 ±   1 tg x , dla  x 0 R {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}~{\operatorname {ctg} x}=\lim _{x\to x_{0}^{\pm }}~{\frac {1}{\operatorname {tg} x}},\quad {\text{dla }}x_{0}\in \mathbb {R} }

Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus | edytuj kod

| sin x | = 1 cos 2 x {\displaystyle |\sin x|={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} | tg x | = | sin x | | cos x | = 1 cos 2 x | cos x | {\displaystyle |\operatorname {tg} x|={\frac {|\sin x|}{|\cos x|}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{|\cos x|}}} | ctg x | = | cos x | | sin x | = | cos x | 1 cos 2 x {\displaystyle |\operatorname {ctg} x|={\frac {|\cos x|}{|\sin x|}}={\frac {|\cos x|}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}}

Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus | edytuj kod

| cos x | = 1 sin 2 x {\displaystyle |\cos x|={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} | tg x | = | sin x | | cos x | = | sin x | 1 sin 2 x {\displaystyle |\operatorname {tg} x|={\frac {|\sin x|}{|\cos x|}}={\frac {|\sin x|}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}} | ctg x | = | cos x | | sin x | = 1 sin 2 x | sin x | {\displaystyle |\operatorname {ctg} x|={\frac {|\cos x|}{|\sin x|}}={\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{|\sin x|}}}

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych | edytuj kod

sin ( x ) = sin x tg ( x ) = tg x cos ( x ) = cos x ctg ( x ) = ctg x {\displaystyle {\begin{array}{l}\sin(-x)=-\sin x&\operatorname {tg} (-x)=-\operatorname {tg} x\\\cos(-x)=\cos x&\operatorname {ctg} (-x)=-\operatorname {ctg} x\end{array}}}

Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami | edytuj kod

Równości

sin x = cos ( π 2 x ) cos x = sin ( π 2 x ) tg x = ctg ( π 2 x ) ctg x = tg ( π 2 x ) sec x = cosec ( π 2 x ) cosec x = sec ( π 2 x ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\sin x=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\[.2em]&\operatorname {tg} x=\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\operatorname {ctg} x=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\[.2em]&\sec x=\operatorname {cosec} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\operatorname {cosec} x=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\end{aligned}}}

nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.

Odwrotności | edytuj kod

Funkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):

sin x = 1 cosec x cosec x = 1 sin x cos x = 1 sec x sec x = 1 cos x tg x = 1 ctg x ctg x = 1 tg x {\displaystyle {\begin{aligned}&\sin x={\frac {1}{\operatorname {cosec} x}}&&\operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}}\\[.5em]&\cos x={\frac {1}{\sec x}}&&\sec x={\frac {1}{\cos x}}\\[.5em]&\operatorname {tg} x={\frac {1}{\operatorname {ctg} x}}&&\operatorname {ctg} x={\frac {1}{\operatorname {tg} x}}\end{aligned}}}

Funkcje sumy i różnicy kątów | edytuj kod

sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y {\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\cdot \cos y\pm \cos x\cdot \sin y} Sinus i cosinus sumy kątów cos ( x ± y ) = cos x cos y sin x sin y {\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y} Sinus i cosinus różnicy kątów tg ( x ± y ) = tg x ± tg y 1 tg x tg y {\displaystyle \operatorname {tg} (x\pm y)={\frac {\operatorname {tg} x\pm \operatorname {tg} y}{1\mp \operatorname {tg} x\operatorname {tg} y}}} Tangens sumy kątów Tangens różnicy kątów Cotangens sumy kątów

ctg ( x ± y ) = ctg x ctg y 1 ctg y ± ctg x {\displaystyle \operatorname {ctg} (x\pm y)={\frac {\operatorname {ctg} x\cdot \operatorname {ctg} y\mp 1}{\operatorname {ctg} y\pm \operatorname {ctg} x}}}

Cotangens różnicy kątów

Dowód | edytuj kod

Na mocy wzoru Eulera:

e x i = cos x + i sin x {\displaystyle e^{xi}=\cos x+i\sin x} oraz e y i = cos y + i sin y {\displaystyle e^{yi}=\cos y+i\sin y}

wymnożenie obu równości stronami daje:

e i ( x + y ) = cos x cos y sin x sin y + i ( sin x cos y + cos x sin y ) . {\displaystyle e^{i\left(x+y\right)}=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y+i\left(\sin x\cos y+\cos x\sin y\right).}

Z drugiej strony, znów na mocy wzoru Eulera:

e i ( x + y ) = cos ( x + y ) + i sin ( x + y ) . {\displaystyle e^{i\left(x+y\right)}=\cos(x+y)+i\sin(x+y).}

Porównanie części rzeczywistych i urojonych odpowiednich stron daje dwa pierwsze wzory. Dwa kolejne wynikają z poprzednich, jeżeli wyrazić tg {\displaystyle \operatorname {tg} } i ctg {\displaystyle \operatorname {ctg} } przez sin {\displaystyle \sin } i cos . {\displaystyle \cos .}

Funkcje wielokrotności kątów | edytuj kod

Wzory na dwukrotność kąta otrzymuje się przez podstawienie y = x {\displaystyle y=x} we wzorach na funkcje sumy kątów.

sin 2 x = 2 sin x cos x {\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x} cos 2 x = cos 2 x sin 2 x = 1 2 sin 2 x = 2 cos 2 x 1 {\displaystyle \cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1} tg 2 x = 2 tg x 1 tg 2   x {\displaystyle \operatorname {tg} 2x={\frac {2\operatorname {tg} x}{1-\operatorname {tg} ^{2}\ x}}} ctg 2 x = ctg x tg x 2 = ctg 2   x 1 2 ctg x {\displaystyle \operatorname {ctg} 2x={\frac {\operatorname {ctg} x-\operatorname {tg} x}{2}}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\ x-1}{2\operatorname {ctg} x}}} sin 3 x = 3 sin x 4 sin 3 x {\displaystyle \sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x} cos 3 x = 4 cos 3 x 3 cos x {\displaystyle \cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x} tg 3 x = 3 tg x tg 3   x 1 3 tg 2   x {\displaystyle \operatorname {tg} 3x={\frac {3\operatorname {tg} x-\operatorname {tg} ^{3}\ x}{1-3\operatorname {tg} ^{2}\ x}}} ctg 3 x = ctg 3   x 3 ctg x 3 ctg 2   x 1 {\displaystyle \operatorname {ctg} 3x={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\ x-3\operatorname {ctg} x}{3\operatorname {ctg} ^{2}\ x-1}}} sin 4 x = 8 cos 3 x sin x 4 cos x sin x = 4 cos 3 x sin x 4 cos x sin 3 x {\displaystyle \sin 4x=8\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin x=4\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin ^{3}x} cos 4 x = 8 cos 4 x 8 cos 2 x + 1 = 8 sin 4 x 8 sin 2 x + 1 = cos 4 x 6 cos 2 x sin 2 x + sin 4 x {\displaystyle \cos 4x=8\cos ^{4}x-8\cos ^{2}x+1=8\sin ^{4}x-8\sin ^{2}x+1=\cos ^{4}x-6\cos ^{2}x\sin ^{2}x+\sin ^{4}x} tg 4 x = 4 tg x 4 tg 3   x 1 6 tg 2   x + tg 4   x {\displaystyle \operatorname {tg} 4x={\frac {4\operatorname {tg} x-4\operatorname {tg} ^{3}\ x}{1-6\operatorname {tg} ^{2}\ x+\operatorname {tg} ^{4}\ x}}} ctg 4 x = ctg 4   x 6 ctg 2   x + 1 4 ctg 3   x 4 ctg x {\displaystyle \operatorname {ctg} 4x={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\ x-6\operatorname {ctg} ^{2}\ x+1}{4\operatorname {ctg} ^{3}\ x-4\operatorname {ctg} x}}}

Ogólnie:

sin n x = i = 0 ( 1 ) i ( n 2 i + 1 ) cos n 2 i 1 x sin 2 i + 1 x = i = 0 n 2 ( 1 ) i ( n 2 i + 1 ) cos n 2 i 1 x sin 2 i + 1 x = n cos n 1 x sin x ( n 3 ) cos n 3 x sin 3 x + ( n 5 ) cos n 5 x sin 5 x ( n 7 ) cos n 7 x sin 7 x + {\displaystyle {\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i+1}\cos ^{n-2i-1}x\sin ^{2i+1}x\\[2pt]&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i+1}\cos ^{n-2i-1}x\sin ^{2i+1}x\\&=n\cos ^{n-1}x\sin x-{n \choose 3}\cos ^{n-3}x\sin ^{3}x+{n \choose 5}\cos ^{n-5}x\sin ^{5}x-{n \choose 7}\cos ^{n-7}x\sin ^{7}x+\dots \end{aligned}}} cos n x = i = 0 ( 1 ) i ( n 2 i ) cos n 2 i x sin 2 i x = i = 0 n 2 ( 1 ) i ( n 2 i ) cos n 2 i x sin 2 i x = cos n x ( n 2 ) cos n 2 x sin 2 x + ( n 4 ) cos n 4 x sin 4 x ( n 6 ) cos n 6 x sin 6 x + {\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx&=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i}\cos ^{n-2i}x\sin ^{2i}x\\[2pt]&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i}\cos ^{n-2i}x\sin ^{2i}x\\&=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\cos ^{n-2}x\sin ^{2}x+{n \choose 4}\cos ^{n-4}x\sin ^{4}x-{n \choose 6}\cos ^{n-6}x\sin ^{6}x+\dots \end{aligned}}} tg n x = i = 0 n 2 ( n 2 i + 1 ) tg 2 i + 1 x ( 1 ) i ( i = 0 n 2 ( n 2 i ) tg 2 i x ( 1 ) i ) 1 {\displaystyle \operatorname {tg} nx=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{n \choose 2i+1}\operatorname {tg} ^{2i+1}x\cdot (-1)^{i}\cdot \left(\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{n \choose 2i}\operatorname {tg} ^{2i}x\cdot (-1)^{i}\right)^{-1}}

Funkcje kąta połówkowego | edytuj kod

| sin 1 2 x | = 1 cos x 2 {\displaystyle \left|\sin {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}} | cos 1 2 x | = 1 + cos x 2 {\displaystyle \left|\cos {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}} | tg 1 2 x | = 1 cos x 1 + cos x {\displaystyle \left|\operatorname {tg} {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}} tg 1 2 x = 1 cos x sin x = sin x 1 + cos x {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {1}{2}}x={\frac {1-\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}} | ctg 1 2 x | = 1 + cos x 1 cos x {\displaystyle \left|\operatorname {ctg} {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1+\cos x}{1-\cos x}}}} ctg 1 2 x = 1 + cos x sin x = sin x 1 cos x {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {1}{2}}x={\frac {1+\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1-\cos x}}}

Suma i różnica funkcji | edytuj kod

sin x ± sin y = 2 sin x ± y 2 cos x y 2 {\displaystyle \sin x\pm \sin y=2\sin {\frac {x\pm y}{2}}\cdot \cos {\frac {x\mp y}{2}}} cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x y 2 {\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cdot \cos {\frac {x-y}{2}}} cos x cos y = 2 sin x + y 2 sin x y 2 {\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\cdot \sin {\frac {x-y}{2}}} tg x ± tg y = sin ( x ± y ) cos x cos y {\displaystyle \operatorname {tg} x\pm \operatorname {tg} y={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}} tg x + ctg y = cos ( x y ) cos x sin y {\displaystyle \operatorname {tg} x+\operatorname {ctg} y={\frac {\cos(x-y)}{\cos x\sin y}}} ctg x ± ctg y = sin ( y ± x ) sin x sin y {\displaystyle \operatorname {ctg} x\pm \operatorname {ctg} y={\frac {\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}}} ctg x tg y = cos ( x + y ) sin x cos y {\displaystyle \operatorname {ctg} x-\operatorname {tg} y={\frac {\cos(x+y)}{\sin x\cos y}}} 1 cos x = 2 sin 2 x 2 {\displaystyle 1-\cos x=2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}} 1 + cos x = 2 cos 2 x 2 {\displaystyle 1+\cos x=2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}} 1 sin x = 2 sin 2 ( 1 4 π 1 2 x ) = 2 cos 2 ( 1 4 π + 1 2 x ) = ( sin x 2 cos x 2 ) 2 {\displaystyle 1-\sin x=2\sin ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {1}{2}}x\right)=2\cos ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)=\left(\sin {\frac {x}{2}}-\cos {\frac {x}{2}}\right)^{2}} 1 + sin x = 2 cos 2 ( 1 4 π 1 2 x ) = 2 sin 2 ( 1 4 π + 1 2 x ) = ( sin x 2 + cos x 2 ) 2 {\displaystyle 1+\sin x=2\cos ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {1}{2}}x\right)=2\sin ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)=\left(\sin {\frac {x}{2}}+\cos {\frac {x}{2}}\right)^{2}}

Iloczyn w postaci sumy | edytuj kod

cos x cos y = cos ( x y ) + cos ( x + y ) 2 {\displaystyle \cos x\cdot \cos y={\frac {\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}}} sin x sin y = cos ( x y ) cos ( x + y ) 2 {\displaystyle \sin x\cdot \sin y={\frac {\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}}} sin x cos y = sin ( x y ) + sin ( x + y ) 2 {\displaystyle \sin x\cdot \cos y={\frac {\sin(x-y)+\sin(x+y)}{2}}} sin x sin y sin z = sin ( x + y z ) + sin ( y + z x ) + sin ( z + x y ) sin ( x + y + z ) 4 {\displaystyle \sin x\cdot \sin y\cdot \sin z={\frac {\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)}{4}}} sin x sin y cos z = cos ( x + y z ) + cos ( y + z x ) + cos ( z + x y ) cos ( x + y + z ) 4 {\displaystyle \sin x\cdot \sin y\cdot \cos z={\frac {-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)-\cos(x+y+z)}{4}}} sin x cos y cos z = sin ( x + y z ) sin ( y + z x ) + sin ( z + x y ) + sin ( x + y + z ) 4 {\displaystyle \sin x\cdot \cos y\cdot \cos z={\frac {\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)+\sin(x+y+z)}{4}}} cos x cos y cos z = cos ( x + y z ) + cos ( y + z x ) + cos ( z + x y ) + cos ( x + y + z ) 4 {\displaystyle \cos x\cdot \cos y\cdot \cos z={\frac {\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)}{4}}}

Potęgi w postaci sumy | edytuj kod

sin 2 x = 1 cos 2 x 2 {\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1-\cos 2x}{2}}} cos 2 x = 1 + cos 2 x 2 {\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1+\cos 2x}{2}}} sin 2 x cos 2 x = 1 cos 4 x 8 = sin 2 2 x 4 {\displaystyle \sin ^{2}x\cos ^{2}x={\frac {1-\cos 4x}{8}}={\frac {\sin ^{2}2x}{4}}} sin 3 x = 3 sin x sin 3 x 4 {\displaystyle \sin ^{3}x={\frac {3\sin x-\sin 3x}{4}}} cos 3 x = 3 cos x + cos 3 x 4 {\displaystyle \cos ^{3}x={\frac {3\cos x+\cos 3x}{4}}} sin 4 x = cos 4 x 4 cos 2 x + 3 8 {\displaystyle \sin ^{4}x={\frac {\cos 4x-4\cos 2x+3}{8}}} cos 4 x = cos 4 x + 4 cos 2 x + 3 8 {\displaystyle \cos ^{4}x={\frac {\cos 4x+4\cos 2x+3}{8}}} sin 2 x sin 2 y = sin ( x + y ) sin ( x y ) {\displaystyle \sin ^{2}x-\sin ^{2}y=\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)}

Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta | edytuj kod

sin x = 2 tg x 2 1 + tg 2 x 2 {\displaystyle \sin x={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}} cos x = 1 tg 2 x 2 1 + tg 2 x 2 , {\displaystyle \cos x={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},} tg x = 2 tg x 2 1 tg 2 x 2 {\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}

Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu R ( sin x , cos x , tg x ) d x , {\displaystyle \int R(\sin x,\cos x,\operatorname {tg} x)dx,} gdzie R ( u , v , w ) {\displaystyle R(u,v,w)} jest funkcją wymierną zmiennych u , v , w . {\displaystyle u,v,w.} Stosuje się podstawienie:

tg x 2 = t {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {x}{2}}=t} x = 2 arctg t + 2 k π {\displaystyle x=2\operatorname {arctg} \;t+2k\pi } d x = 2 1 + t 2 d t . {\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt.}

Wzory Eulera | edytuj kod

 Osobny artykuł: Wzór Eulera. e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} sin x = e i x e i x 2 i {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}} cos x = e i x + e i x 2 {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}} tg x = e i x e i x ( e i x + e i x ) i {\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{(e^{ix}+e^{-ix})i}}} ctg x = e i x + e i x e i x e i x i {\displaystyle \operatorname {ctg} x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}}i}

Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).

Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi | edytuj kod

tg x + sec x = tg ( x 2 + π 4 ) . {\displaystyle \operatorname {tg} x+\sec x=\operatorname {tg} \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right).}

Wzór de Moivre’a

cos ( n x ) + i sin n x = ( cos x + i sin x ) n n N {\displaystyle \cos(nx)+i\sin nx=(\cos x+i\sin x)^{n}\qquad n\in \mathbb {N} }

lub ogólniej:

r ( cos x + i sin x ) n = r n ( cos n x + i sin n x ) n N {\displaystyle [r(\cos x+i\sin x)]^{n}=r^{n}(\cos nx+i\sin nx)\qquad n\in \mathbb {N} }

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Tożsamości trygonometryczne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy