Topologia zwarto-otwarta


Topologia zwarto-otwarta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Topologia zwarto-otwarta jest topologią na zbiorze Y X {\displaystyle Y^{X}} wszystkich przekształceń ciągłych z przestrzeni topologicznej X {\displaystyle X} do przestrzeni Y . {\displaystyle Y.} Jej genezą było poszukiwanie takiej topologii na zbiorze Y X {\displaystyle Y^{X}} lub na jakimś wyróżnionym zbiorze F {\displaystyle F} ciągłych przekształceń f : X Y , {\displaystyle f\colon X\to Y,} przy której wyrażenie f ( x ) {\displaystyle f(x)} jest funkcją ciągłą względem obu zmiennych: zmiennej x X {\displaystyle x\in X} i zmiennej f F . {\displaystyle f\in F.} Innymi słowy, chodzi o taką topologię na F , {\displaystyle F,} aby odwzorowanie ( f , x ) f ( x ) {\displaystyle (f,x)\mapsto f(x)} było ciągłe względem topologii produktowej na F × X {\displaystyle F\times X} [1][2].

Spis treści

Definicje | edytuj kod

Załóżmy, że X , Y {\displaystyle X,Y} są przestrzeniami topologicznymi, a Y X {\displaystyle Y^{X}} jest zbiorem wszystkich przekształceń ciągłych z X {\displaystyle X} w Y . {\displaystyle Y.} Jedną z topologii na zbiorze Y X {\displaystyle Y^{X}} jest topologia zbieżności punktowej T p , {\displaystyle {\cal {T_{p},}}} której bazą zbiorów otwartych jest rodzina wszystkich zbiorów postaci

U = i = 1 n { f Y X f ( A i ) B i } , {\displaystyle U=\bigcap _{i=1}^{n}\{f\in Y^{X}\mid f(A_{i})\subseteq B_{i}\},}

gdzie każdy A i {\displaystyle A_{i}} jest podzbiorem skończonym przestrzeni X , {\displaystyle X,} a B i {\displaystyle B_{i}} jest zbiorem otwartym w Y {\displaystyle Y} [3][4]. Zbiór Y X {\displaystyle Y^{X}} można też interpretować jako nieskończoną potęgę kartezjańską, produkt jednakowych czynników. Topologia zbieżności punktowej jest topologią indukowaną przez topologię produktową na iloczynie kartezjańskim P x X Y x , {\displaystyle {\underset {x\in X}{\operatorname {P} }}Y_{x},} w którym Y x = Y {\displaystyle Y_{x}=Y} dla każdego x X . {\displaystyle x\in X.} Topologia T p {\displaystyle {\cal {T_{p}}}} jest jednoznacznie wyznaczona przez topologię w Y , {\displaystyle Y,} natomiast od topologii przestrzeni X {\displaystyle X} zależy jedynie zbiór funkcji należących do Y X . {\displaystyle Y^{X}.}

Silniejsza od T p {\displaystyle {\cal {T_{p}}}} jest topologia zwarto-otwarta T c o , {\displaystyle {\cal {T_{c-o},}}} w której bazą zbiorów otwartych są analogiczne iloczyny U {\displaystyle U} z tym, że teraz każdy A i {\displaystyle A_{i}} jest podzbiorem zwartym przestrzeni X {\displaystyle X} [5][6].

Topologia T c o {\displaystyle {\cal {T_{c-o}}}} zależy od obu topologii: od topologii w Y {\displaystyle Y} i topologii w X . {\displaystyle X.} Jeżeli X {\displaystyle X} jest przestrzenią zwartą, a Y {\displaystyle Y} przestrzenią metryczną, to topologia zwarto-otwarta przestrzeni Y X {\displaystyle Y^{X}} jest identyczna z topologią zbieżności jednostajnej[7][8]. Jeżeli zaś obie przestrzenie X , Y {\displaystyle X,Y} są metryczne, to w przestrzeni Y X {\displaystyle Y^{X}} można wprowadzić metrykę zbieżności jednostajnej, której topologia, zwana też topologią naturalną na Y X , {\displaystyle Y^{X},} jest identyczna z topologią zwarto-otwartą.

Kanoniczna bijekcja | edytuj kod

Załóżmy, że X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} są przestrzeniami topologicznymi, a symbol M a p ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Map} (X,Y)} oznacza przestrzeń Y X {\displaystyle Y^{X}} z topologią zwarto-otwartą. Rozważmy kanoniczne odwzorowanie

Γ : M a p ( X × Y , Z ) M a p ( X , M a p ( Y , Z ) ) {\displaystyle \Gamma \colon \mathrm {Map} (X\times Y,Z)\to \mathrm {Map} {\big (}X,\mathrm {Map} (Y,Z){\big )}}

przyporządkowujące każdej funkcji f : X × Y Z {\displaystyle f\colon X\times Y\to Z} funkcję g : X Z Y , {\displaystyle g\colon X\to Z^{Y},} która z kolei każdemu x X {\displaystyle x\in X} przyporządkowuje funkcję g x : Y Z {\displaystyle g_{x}\colon Y\to Z} określoną wzorem g x ( y ) = f ( x , y ) . {\displaystyle g_{x}(y)=f(x,y).} Jeżeli przestrzeń Y {\displaystyle Y} jest lokalnie zwarta, a X jest przestrzenią Hausdorffa, to Γ {\displaystyle \Gamma } jest bijekcją i homeomorfizmem[9].

Szczególnie doniosły (zwłaszcza dla teorii homotopii) jest przypadek, gdy w tym homeomorfizmie za Y {\displaystyle Y} podstawimy sferę n-wymiarową S n   ( n 0 ) {\displaystyle \mathbf {S} ^{n}\ (n\geqslant 0)} i rozważymy przestrzenie topologiczne X x {\displaystyle X_{x^{\diamond }}} z wyróżnionymi punktami bazowymi x X . {\displaystyle x^{\diamond }\!\in X.} Przez M a p ( X x , Y y ) {\displaystyle \mathrm {Map_{*}} (X_{x^{\diamond }},Y_{y^{\diamond }})} oznaczmy podprzestrzeń domkniętą (w topologii zwarto-otwartej) przestrzeni M a p ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Map} (X,Y)} utworzoną z funkcji zachowujących punkty bazowe. Dla n = 1 {\displaystyle n=1} otrzymujemy homeomorfizm

M a p ( Σ X x , Z z ) M a p ( X x , Ω Z x ) , {\displaystyle \mathrm {Map_{*}} (\Sigma X_{x^{\diamond }},Z_{z^{\diamond }})\to \mathrm {Map_{*}} {\big (}X_{x^{\diamond }},\Omega Z_{x^{\diamond }}),}

w którym występuje zredukowane zawieszenie Σ ( X x ) {\displaystyle \Sigma (X_{x^{\diamond }})} homeomorficzne z S 1 X x , {\displaystyle {\mathbf {S} ^{1}}\!\!\wedge X_{x^{\diamond }},} produktem ściągniętym[a] przestrzeni S 1 {\displaystyle \mathbf {S} ^{1}} i X x {\displaystyle X_{x^{\diamond }}} oraz przestrzeń pętli Ω ( Z z ) = M a p ( S 1 , Z z ) . {\displaystyle \Omega (Z_{z^{\diamond }})=\mathrm {Map_{*}} ({\mathbf {S} ^{1}}\!,Z_{z^{\diamond }}).} Jest to naturalna równoważność funktorów[10]. Stała się ona punktem wyjścia dualności Eckmanna-Hiltona[potrzebny przypis]

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Produkt ściągnięty (ang. smash product) przestrzeni X x , Y y {\displaystyle X_{x^{\diamond }},Y_{y^{\diamond }}} to przestrzeń ilorazowa X Y = ( X × Y ) / ( X Y ) , {\displaystyle X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y),} gdzie X Y {\displaystyle X\vee Y} to zbiór ( X × { y 0 } ) ( { x 0 } × Y ) {\displaystyle (X\times \{y_{0}\})\cup (\{x_{0}\}\times Y)} z punktem bazowym ( x 0 , y 0 ) . {\displaystyle (x_{0},y_{0}).}

Przypisy | edytuj kod

  1. Kelley 1955 ↓, Chapter 7.
  2. Duda 1986 ↓, s. 258.
  3. Engelking 1975 ↓, s. 144.
  4. Duda 1986 ↓, s. 254.
  5. Engelking 1975 ↓, s. 203.
  6. Duda 1986 ↓, s. 256.
  7. Kuratowski 1977 ↓, rozdział XVI, § 7.
  8. Duda 1986 ↓, s. 261.
  9. Engelking 1975 ↓, s. 207.
  10. Mac Lane 1971 ↓, s. 185.

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Topologia zwarto-otwarta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy