Trójkąt Pascala


Trójkąt Pascala w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb:

 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią

Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona - rozwinięcia ( a + b ) n {\displaystyle (a+b)^{n}\,} . Na przykład:

  • ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,} w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.
  • ( a + b ) 5 = 1 a 5 b 0 + 5 a 4 b 1 + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a 1 b 4 + 1 a 0 b 5 {\displaystyle (a+b)^{5}=1a^{5}b^{0}+5a^{4}b^{1}+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5a^{1}b^{4}+1a^{0}b^{5}\,}

Inaczej: licząc miejsca w wierszu i kolumnie od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} .

Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe ( 5 2 ) {\displaystyle {5 \choose 2}} .

Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

Spis treści

Własności trójkąta | edytuj kod

Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2 Wyróżnione elementy trójkąta Pascala podzielne przez 3
  • Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki.
  • W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...).
  • W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...).
  • W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35, ...).
  • W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej.
  • Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe.
  • Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów w trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej.
  • Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2.
  • Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół.
  • Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego. Podobna prawidłowość zachodzi także dla dowolnych liczb naturalnych:
 0 1 # 1 1 1 # # 2 1 2 1 # # 3 1 3 3 1 # # # # 4 1 4 6 4 1 # # 5 1 5 10 10 5 1 # # # # 6 1 6 15 20 15 6 1 # # # # 7 1 7 21 35 35 21 7 1 # # # # # # # # 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 # # 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 # # # # 
  • Suma kwadratów wszystkich elementów wiersza o numerze n (numerując od zera) jest równa środkowemu elementowi wiersza 2n.

Zastosowania | edytuj kod

Biologia | edytuj kod

W genetyce w odniesieniu do genów kumulatywnych. Biorąc co drugi wiersz zaczynając od wiersza drugiego (1:2:1) trójkąt pokazuje stosunki rozszczepień w przypadku cech determinowanych przez geny kumulatywne[1].

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka | edytuj kod

Każdy współczynnik obrazuje liczbę dróg, którymi można dojść od wierzchołka do danego punktu - ma to wykorzystanie przy analizie prawdopodobieństwa przy użyciu Deski Galtona[2].

Programy obliczające | edytuj kod

Przykład prostej (ale nieekonomicznej) funkcji rekurencyjnej w języku Pascal, obliczającej element trójkąta Pascala. Wzór wynika z definicji rekurencyjnej elementów trójkąta.

( n 0 ) = ( n n ) = 1. {\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1.} ( n k ) = ( n 1 k 1 ) + ( n 1 k ) {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}
function pascal(n,k:integer):integer; begin if (k=0) or (k=n) then pascal := 1 else pascal := pascal(n-1, k-1) + pascal(n-1,k); end; 

Przykład drzewa Pascala napisany w języku C++, n - liczba wierszy, tablica zwraca wartość współczynnika w zadanym wierszu i kolumnie:

 long long **trojkatPascala; trojkatPascala= new long long *[n]; for (int j=0;j<n;j++) { trojkatPascala[j]=new long long [j+1]; trojkatPascala[j][0]=1; trojkatPascala[j][j]=1; for (int i=0; i<j-1; i++) trojkatPascala[j][i+1]=trojkatPascala[j-1][i]+trojkatPascala[j-1][i+1]; } 

A oto przykład programu w Pythonie wypisującego liczby z trójkąta Pascala dla zadanej liczby rzędów:

def write_list(list): print(' '.join([str(item) for item in list]).center(30)) x = input("Podaj liczbe poziomow: ") line = [1] write_list(line) for i in range(int(x) - 1): next_line = [1] for j in range(len(line) - 1): next_line.append(line[j] + line[j + 1]) next_line.append(1) line = next_line write_list(line) 

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. dr Henryk St. Różański: Geny polimeryczne w Wykłady z przedmiotu: Genetyka i parazytologia lekarska. [dostęp 2011-05-20].
  2. Iwo, Iwona Białynicki-Birula, Białynicka-Birula: Modelowanie rzeczywistości. Warszawa: Prószyński i S-ka SA, 2002, s. 36. ISBN 83-7255-103-0.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Trójkąt Pascala" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy