Trójkąty podobne


Trójkąty podobne w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Trójkąty podobne

Trójkąty podobne – dwa trójkąty, których odpowiednie boki są parami proporcjonalne, tzn. gdy można dobrać oznaczenia dla wierzchołków w pierwszym i drugim trójkącie odpowiednio: A , B , C {\displaystyle A,B,C} oraz A , B , C {\displaystyle A',B',C'} tak, aby

A B A B = B C B C = C A C A = s , {\displaystyle {\frac {A'B'}{AB}}={\frac {B'C'}{BC}}={\frac {C'A'}{CA}}=s,}

gdzie s {\displaystyle s} jest pewną ( s 0 ) {\displaystyle (s\neq 0)} liczbą zwaną skalą podobieństwa trójkąta Δ A B C {\displaystyle \Delta A'B'C'} względem Δ A B C . {\displaystyle \Delta ABC.}

Jest to szczególny przypadek podobieństwa dwóch figur.

Podobieństwo trójkątów o ustalonych nazwach wierzchołków symbolicznie zapisujemy Δ A B C Δ A B C {\displaystyle \Delta A'B'C'\sim \Delta ABC} i czytamy, że Δ A B C {\displaystyle \Delta A'B'C'} jest podobny do Δ A B C . {\displaystyle \Delta ABC.}

Oczywiście tak zdefiniowane podobieństwo trójkątów jest relacją między dwiema figurami niezależną od sposobu i kolejności oznaczania ich wierzchołków. Czyli jeśli Δ A B C Δ A B C , {\displaystyle \Delta A'B'C'\sim \Delta ABC,} to także np. Δ B A C Δ A C B {\displaystyle \Delta B'A'C'\sim \Delta ACB} oraz Δ C B A Δ B C A . {\displaystyle \Delta C'B'A'\sim \Delta BCA.} Oznacza to, że w napisie Δ A B C {\displaystyle \Delta A'B'C'} układ liter A B C {\displaystyle A'B'C'} wygodnie jest rozumieć jako zbiór wierzchołków, a nie uporządkowany ciąg wierzchołków.

W ujęciu kleinowskiej teorii niezmienników grupy podobieństw problem (pozornie) upraszcza się, bowiem tam postuluje się istnienie pewnego podobieństwa (czyli funkcji) przenoszącego jeden trójkąt na drugi i wierzchołki obu trójkątów nie muszą być oznaczane.

Relacja podobieństwa w zbiorze trójkątów jest równoważnością.

Jeśli trójkąty są podobne, to:

  • wszystkie szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych, promienie kół: opisanego i wpisanego itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali s , {\displaystyle s,}
  • stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Spis treści

Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa) | edytuj kod

Trójkąty są podobne, jeśli zachodzi którykolwiek z poniższych równoważnych warunków:

  1. Cecha bbb (bok-bok-bok) – stosunki długości odpowiednich par boków (z definicji) są równe,
  2. Cecha bkb (bok-kąt-bok) – stosunki długości dwóch par boków równe i miary kątów między tymi bokami są równe,
  3. Cecha kkk (kąt-kąt-kąt) – zachowane są miary odpowiednich kątów (tu wystarczy równość dwóch par kątów, czyli cecha kk bo ostatnia para kątów też musi być równa, bowiem suma ich miar jest równa 180°).

Podobieństwo w innych geometriach | edytuj kod

Podobieństwo ze wszystkimi jego własnościami występuje jedynie w geometrii euklidesowej. W geometriach eliptycznej i hiperbolicznej równość odpowiednich trzech kątów oznacza równość odpowiednich boków. Sprowadza się to do przystawania trójkątów. I odwrotnie – dla dowolnych dwóch trójkątów, w których długości boków w jednym są różne, ale proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, równości kątów nie są zachowane. Nie będą zachowane także m.in. proporcje wysokości, proporcje środkowych itd.

Ogólnie – podobieństwo jako funkcja zachowująca stosunki odległości dowolnych dwóch punktów w tych geometriach sprowadza się do izometrii.

Zastosowania | edytuj kod

Podobieństwo trójkątów ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Oto kilka z nich.

Pomiar wysokości piramidy | edytuj kod

Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać.

Ponieważ trójkąty O A A {\displaystyle OAA'} i O B B {\displaystyle OBB'} są podobne zachodzi proporcja: | O A | | A A | = | O B | | B B | {\displaystyle {\frac {|OA|}{|AA'|}}={\frac {|OB|}{|BB'|}}} skąd | B B | = | A A | | O B | | O A | . {\displaystyle |BB'|={\frac {|AA'|\cdot |OB|}{|OA|}}.}
Znając | A A | {\displaystyle |AA'|} – długość kija, mierząc | O A | {\displaystyle |OA|} – długość jego cienia i | O B | {\displaystyle |OB|} – długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość.

Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.

Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób – wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał do chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.

Pomiar odległości statku od brzegu | edytuj kod

Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na horyzoncie.

Z podobieństwa trójkątów O A B {\displaystyle OA'B'} i O A B {\displaystyle OAB} mamy: | O A | | A B | = | O A | | A B | , {\displaystyle {\frac {|OA'|}{|A'B'|}}={\frac {|OA|}{|AB|}},} czyli | x + A A | | A B | = x | A B | {\displaystyle {\frac {|x+AA'|}{|A'B'|}}={\frac {x}{|AB|}}} skąd x = | A A | | A B | | A B | | A B | . {\displaystyle x={\frac {|AA'|\cdot |AB|}{|A'B'|-|AB|}}.}

Mierząc długości odcinków występujących w tej równości, wyznaczamy x . {\displaystyle x.}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Trójkąty podobne" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy